CHAPITRE XII. — FONCTIONS ELLIPTIQUES CANONIQUES

397. Une fonction du second ordre n’est pas entièrement déterminée par la connaissance de ses périodes élémentaires II, Q, relativement auxquelles ses transformations primaires prennent les formes simples (5), (2). On peut encore disposer à volonté de sa

2 Q\ Q À constante supplémentaire C5 + (£ nf ai NES 5’ puisque le

premier zéro €, est arbitraire; après cela, ses zéros et ses infinis sont entièrement déterminés par les observations précédentes, et la fonction ne renferme plus qu’un facteur constant indéter-

miné (380).

’ e , \ Q On rend la constante supplémentaire S égale (ou congrue) à —; \ 2 en prenant C4 — 0; la transformation (2), combinée avec s Q JS — r)= (© x) JE),

donne alors

(7) f{a+S)=fa)= —f(e)

ce qui rend la fonction émpatre, et lui confère en même temps L , L L2 L 2 . « Q comme une demi-périodicité relativement à ci

Il est facile d’assigner la forme de l'équation différentielle

af

dx

=YG(f—a) f—b)(f—c)f — d)

de la fonction f(x) ainsi définie. Les conditions (4), (5) donnent

= -— 9 — &, l = — = b ka \ É ë La’ 4 fe d’où, en posant VE “se LV rer (8) dE =e(/ (= h)o-ar) équation à compléter par les conditions initiales