Une fonction du second ordre, définie comme ci-des

sus (397), se nomme une fonction elliptique \(x) (notation de M. — IT.

Briot et Bouquet), ou bien snx, comme écrivent maintenant beaucoup d’auteurs. Elle est complètement déterminée, soit par la connaissance de deux périodes élémentaires donnant lieu aux relations (2), (3), (7), soit par l’équation différentielle (10), les conditions initiales annexes, et l'indication de la valeur de Æ (choisie, bien entendu, parmi celles de VA).

Une infinité de couples de périodes élémentaires, mais non tous, donnent lieu à ces relations (2), (3), (5); pour les distinguer de ceux qui ne jouissent pas de cette triple propriété, on les dit elliptiques. Et, comme dans chaque couple il y a une distinction évidente à faire entre les deux périodes, on nomme première période celle Q figurant dans les formules (2), (5), seconde période l’autre Il entrant dans la relation (3). Désormais, nous les représenterons par w, w/, notations de Briot et Bouquet.

Quand on part de l’équation différentielle (10), les formules (12), (13) respectivement donnent un couple de valeurs de w, w/.

Tout autre couple (4, #") de périodes elliptiques devant être du même genre que (w, w’) (391, 1) lui est lié par les relations (11) du numéro cité où «, à sont impairs, mais f, + pairs. La condi-

aussi, ce qui donne à ces relations (interverties) les formes défi-