CHAPITRE XII. — FONCTIONS ELLIPTIQUES CANONIQUES
de SA re
d’où l’on tire aussi (17) ÀA(—zx)=—2X(x),
et par la condition numérique
donnant encore par sa combinaison avec les précédentes
DE I 4 DRM
O, ru et ses infinis à
u)' UE /u).
400. La constante X figurant dans la transformation (16), et aussi dans l’équation différentielle (10), mais alors par son carré, estle module de la fonction; il ne peut être égal n1 à + 1 nià — 7, car autrement le polynôme sous le radical aurait quelque facteur multiple.
L'intégrale de l'équation (10) avec les conditions initiales (11) est unique ; elle donne néanmoins deux fonctions À; l’une a pour module Æ (l’une des racines carrées de k?) et certaines périodes elliptiques; l’autre a pour module — #, mais d’autres périodes elliptiques.
La deuxième constante g entrant dans l’équation différentielle est le multiplicateur de la fonction.
401. Les périodes elliptiques de l'intégrale de l'équation (10) ayant été choisies de manière que son module soit k, cette fonction se représente quelquefois par
el simplement par A(æ, &),
quand le multiplicateur g se réduit à 1.
L'équation différentielle donnant évidemment À (x, SE k) nu NELZ K),
l'étude de toutes les fonctions À peut être limitée au cas où le multuplicateur g se réduit à 1.
402. Il faut noter quelques particularités numériques de la fonction ÀA(æ, k).
lrPourthimere 0 "on a
AN CAN Lim ——— = I < Cette limite a effectivement pour valeur W(o, Æ) = 1, à cause de l'équation différentielle (10), où g = 1, et des conditions initiales annexes.
IL. Dans le développement de (x, k) par la formule de Maclaurin, les coefficients des puissances de x à exposants pairs sonttous —\0, el celui der est,
Le premier point résulte de l’identité (197) et le second de la remarque précédente Co
IT. Les résidus de (x, k) sont égaux à + Le. selon que les
L : AU E DA tn LNIS correspondan ts sont congrus d a OU À ——— >
Le résidu relatif à « représentant l’un ou l’autre de ces infinis est, parce que ceux-ci sont simples, la limite du produit (x — a) (x, K) pour limx= «4, ou bien de &A(4 +1, k) pour £ infiniment petit. Or; en remplaçant z par ces valeurs, puis ayant égard aux transformations (15), (16), il vient
ou yo
ARTE Se Fa{£-56) NS
PATTES 14,” eu : I ce qui réduit ces limites à Æ E CH
CHAPITRE XII. — FONCTIONS ELLIPTIQUES CANONIQUES. 453 IV. Dans la série
Re uit A(æ—a)+A3(r—a)+...,
développement de X(x, k) en série procédant suivant les puissances de(x — à) à exposants entiers, négatifs puis positifs, les coefficients des puissances paires de x — à sont tous nuls.
Nous avons trouvé (III)
ENT A[x+(x— a), ke ÆX(x— 5, k)’ et auparavant (I[) A(m—a,k)=(x—a)+as(z—a)+...=(r—a)[i+as(x—-a) +...
Il en résulte bien
(18) ACT, QE [1+a,(t— a) +...
= (z— a) V. Pour la dérivée V(x), on a enfin (quels que soient g et k) les identités
qui se déduisent-de (14), (15), (17) par de simples différentiations.
403. Dans le problème de la transformation des fonctions elliptiques, tel qu’on le pose habituellement, l'équation (1) du n° 387 est
du: du
nVa—uiai—kiu}) ya—u)(i—#{u?)
Il diffère ainsi de celui dont nous avons formulé l’énoncé par ces deux particularités : que le polynôme du quatrième degré donné a) +...+ alu est de la forme (1— u?)(1—Æk?u?), et que les relations auxquelles doivent satisfaire les coefficients du
polynôme inconnu a+. + au sont de nature à lui imposer 2/: 2 ot la forme gi(1—uf)(1 — Afu).
