CHAPITRE XII. — FONCTIONS ELLIPTIQUES CANONIQUES

Expressions des intégrales elliptiques réduites à la forme canonique.

412. L'adoption des fonctions ÀA(x) pour type des fonctions bipériodiques du second ordre rend avantageuse la transformation préalable de toute intégrale elliptique que l’on aurait à évaluer, en une autre où le polynôme sous le radical à la forme bicarrée de celui qui figure dans l’équation différentielle des fonctions ÀA(x). La remarque suivante rend évidente la possibilité de cette opération.

. On peut assigner quatre constantes p', p', q', q' de déterminant o, telles que les transformations primaires de f(x) liée à la fonction quelconque du second ordre f(x) par la relation du premier degré

P'f\ (æ)+ p" g'fitæ)+ gg”

aient les formes simples définies au n° 395.

Il est permis d'admettre que la fonction considérée f(x) est à infinis simples; car, si c'était une fonction E, (x), il suffirait, après avoir choisi arbitrairement quelque constante X non égale à l’une des trois valeurs cardinales de cette fonction, de poser

x L J(x)= ES EN | d’où hf(æ) +3 fe)

pour que la fonction du second ordre f(x) aux mêmes périodes n’eût que des infinis simples.

Cela posé, soient IT une période élémentaire de detre les coefficients de la transformation primaire correspoudante

cfæf(a +5) +8freer(e+s)]et = 0;

IL est aussi une période élémentaire de f,(x) pour laquelle les

coefficients de la transformation primaire correspondante ont les

valeurs & =21p?+2$8p'q + yg'?, ! W f 4

B1 = ap'p +$(r'g'+gq'p')+wyg'g

Y1 ss ap Won 9

+ 2 6 Prq ET que

Pour que cette nouvelle transformation ait la forme voulue, il faut donc et il suffit qu'outre $,:< 0 on ait a, =}, = 0, et, pour cela, que (p', q'), (p”, q") soient deux couples de solutions de l'équation homogène du deuxième degré

(3) tp? + 204602

offrant un déterminant = o, c’est-à-dire distincts.

En représentant par (ab) l’association des valeurs cardinales de f(x) à laquelle appartient la période IT, les coefficients «, 6, y, déterminés par les équations (12), (13) du n° 392, sont proporionnels, égaux même si on le veut, à

(4) (a+b)—(c+d), cd— ab, ab(c+d)—cd(a +6),

d’où ee 2 [r.d(a—c)+r.a(b—d)] [i(a—c) 216] … | [b.d(a—c)+c.a(b— d)] [b(a—c)+ce(b= 4] d(a—c) a(b—d)

CON e.

(a—c) (b—d) —=(a—cj(a—d)(b—c)(b—d),

c'est-à-dire $?— «y -£o, parce que les quantités &, b, e, d sont

essentiellement inégales. L’équation (3) admet donc bien les deux

couples de solutions distincts (p', g'), (p', q"), dont nous avons besoin.

D'ailleurs, on a Bi = pi

d’où $,<0 comme il le fallait aussi.

cn a — (B2 — XY) (p'q"— p'q'}? 2e 0,

413. Considérons maintenant l'équation différentielle de la fonction f(x), T. cher = VE CAN

Ds LL d 2