CHAPITRE XII. — FONCTIONS ELLIPTIQUES CANONIQUES

où #(f)est un polynôme en f du quatrième ou du troisième degré, et exécutons-y la substitution du premier degré

LL PÉAEEP" J=qa+e”

identique à (1) dans le premier cas, ou résultant de sa composition avec (2) dans le second.

Les transformations primaires de /,(x) ayant la forme canonique du n° 395, l’équation différentielle devient.

tjs! Ne dx LA Vaiti),

« 2 I A bi Tr il É df ES, où ©, est maintenant un polynome bicarre. Mais, comme A est

dfi

‘e en | lui = par transformée en le produit de Pat

HO Len P’ Q' (Q'fi+ Q}°

le radical se transforme nécessairement en le produit de ÿo,(f1) par le même facteur, d'où cette conclusion :

La substitution rationnelle du premier degré

P'x1 EPS U = ————— Q' U nn Q"

change l'intégrale elliptique générale (6) [rte Vetu)] du en une autre

(7) [rit vertu] dus,

où wi(u,) est un polynôme bicarré tel que (8) i(w)=A(+m'ut)(i+m'ui).

On notera que les constantes P”, ... de la substitution sont les

racines de l’équation du deuxième degré (3), dont les coefficients s'expriment toujours rationnellement au moyen de celles de l’équation entière o(u) — 0 (du quatrième ou du troisième degré).

14. Dans cette dernière intégrale, 1l suffit actuellement de faire Uo

Uj — ,

mA À

puis de poser, en supprimant les indices,

=, vVa=u)a—Æuw)=VR

pour obtenir la forme canonique SE(u, YR)du.

415. Pour obtenir maintenant les expressions des intégrales réduites des trois espèces, il faut se reporter au n° 378 et prendre E(æ)—= (x), le module de À(x) étant k, c’est-à-dire exécuter dans ces intégrales la substitution

(9) I ENNN

L'intégrale de première espèce est toujours (à une constante arbitraire près) la fonction implicite de w que définit l’équation (9) résolue par rapport à x.

416. La première des intégrales de deuxième espèce (298) s'obtient par les procédés élémentaires sans le secours de la substitution (9). Car, ayant la forme

u du VR 2

où R est bicarré, elle se ramène immédiatement aux intégrales circulaires (225), en faisant u? = », d’où uw du = ? dv.