CHAPITRE XII. — FONCTIONS ELLIPTIQUES CANONIQUES

(SLI

En élevant au carré la formule (18) du n° 4092, IV, il vient AGP me Lit Ge — a) +...

1 2 = Cr UT 2) ADD

et, pour chacun de ses infinis &, la décomposition de X(x)? donne

ainsi l'unique fraction simple - R' On en conclut (347)

Ye Re (e-T)+s (re )+n]

H désignant une certaine constante à déterminer, et Æ; ayant été construite en prenant [I = w, Q = w'. L'application du théorème du n° 350 donne plus simplement

NS EME 7 DR — (® ( MT =D " — — Li ]

—{ L (0) [ LL 2 L] 1 = ayant maintenant. w' pour (vraies) périodes. Aucun terme

constant n'est plus à ajouter ici, parce que Les deux membres s’éva- 2 a uw)’ uw!

nouissent pour zx — 0, à cause de Æ, (— =) 2, (=) (343, II.

L'intégration donne f(x} dr = — = [= (z me 2) + TE (2) + C,

C étant la constante arbitraire.

En choisissant la fonction Æ, dont l’augment A, est nul, on peut, dans cette formule, introduire partout la fonction 3(x)

définie au n° 408. Effectivement, on a alors (352, I)

tel M d eo DS SN C3 38, d ee J'(æP—S(z)S'(x) Oo Oo

418. On obtient un résultat plus élégant, et encore exprimable au moyen de la fonction S(x), en considérant, au lieu de l'intégrale M. — II. 30

du eur a) VR

la différence de deux semblables intégrales

du 52 du Je ms cn ve FO

qui est équivalente à la proposée parce que, R étant bicarré, leur

de troisième espèce

somme ou du

(u2— a?) VR

est réductible aux intégrales circulaires, comme dans le cas mentionné au n° #16.

Au lieu du paramètre A, nous introduirons une racine quelconque « de l'équation ÀA(x)= A, qui ne peut être congrue ni

à (0) SUR 0) ü) , j , ® AS PA Ven (ee —- ®) » parce que A est supposé n'être égal n1 ài,nià + ,, racines de R — 0. Après la substitution (9), nous

aurons donc à LUTEr

[ I (10) Hmorae-o

Chacune des fractions entre crochets est une fonction du second ordre aux périodes élémentaires w, w', et à infinis simples, à cause tu)

[2 ü) Q Q 7 ae 2) ; ces infinis sont

@ Ha+mou+mo, —Ea+ mu +m'u),

les signes supérieurs donnant ceux de la première, et les signes

inférieurs ceux de la seconde, avec les mêmes résidus > (a) I L ® LL

DUT , pour les infinis correspondants des deux fractions, à œ

cause relations (19), (20) du n° 402, V.

En vertu du théorème du n° 347, la fonction sous le signe est