CHAPITRE XII. — FONCTIONS ELLIPTIQUES CANONIQUES

Les en (0) ÉCEPERTEEEE |

dE ÉCRIS

donc égale à

=, ayant w, w' pour fausses périodes, avec un premier augment que nous prendrons de suite nul. Le théorème du n° 350, qui est encore applicable, réduit cetre expression à ,

[Æ(r—a)—ÆH(r +a)+K|],

ë u) ALES :

=, ayant maintenant mo w’ pour fausses périodes avec un premier

augment toujours nul, et l’on a

+ uw” n D \ (12) K= a (fs) = (+),

parce que la fonction placée sous le signe f dans l'intégrale (10)

Lj u) Ta à ; ; DE 3 En intégrant l'expression (11), il vient

s'évanouit DAUTIUE

pour notre intégrale (10), en se rappelant la définition de la fonc-

ton 3 (408)

= | = K D9 Ua) Si eape pra e|+c (542,1);

et, pour déterminer K, on peut employer au lieu de (12) la formule équivalente

419. Dans les applications numériques, les coefficients du polynôme (uw) et de la fonction rationnelle F de l'intégrale elliptique générale (6) sont naturellement réels ; ilimporte donc de conduire sa réduction de manière à n'introduire aucune quantité imaginaire, et aussi à avoir pour le module X de l'intégrale de première espèce une valeur 1, condition particulièrement avantageuse pour la construction de Tables numériques. Voici, en gros, comment on y parvient.

Dans la substitution (2), s’il y a lieu de l’employer, on prend pour une quantité réelle.

Quant à la substitution (1), on peut toujours s'arranger de manière que ses coefficients soient réels. [ls dépendent effectivement de l'équation du deuxième degré (3), susceptible de trois formes différentes correspondant aux trois associations deux à deux possibles de trois racines choisies à volonté parmi celles de l’équation du

quatrième degré | o(u)= 0.

Comme les coefficients de cette dernière sont réels, les trois cas suivants pourront seuls se présenter.