En adjoignant à À(x, k) les fonctions (x), (x) men

tionnées ci-dessus, et quelquefois aussi

fonction du second ordre aux périodes élémentaires =? 20, aux

transformations primaires de la forme simple du n° 395, impaire, ayant pour zéros ceux de À(x) et pour infinis ceux de (x), fonclion que l’on représente encore par tnx, on a ce que l’on nomme plus spécialement les fonctions elliptiques; toutes dépendent uniquement du module Æ de la première. En imitant ce que nous avons fait pour celle-ci (406 et sute.), le lecteur exécutera sans peine les développements de ces autres fonctions, dont la possibilité pour la fonction bipériodique la plus générale a été établie au Chapitre X. Ceux en séries factorielles peuvent tous être formés au moyen de la fonction © du n° 408.

La structure si simple et si maniable des transformations pri

maires de À(x), son imparité, rendent son emploi particulièrement avantageux dans les calculs numériques relatifs aux fonctions bipériodiques. Ce sont ces motifs qui ont fait adopter les fonctions À pour type des fonctions du second ordre.

Les foncuüons accessoires pm, y, © (avec d’autres analogues) peuvent débarrasser les calculs de certains radicaux ambigus, et simplifier quelques formules; à cela nous semble se limiter leur importance qui est comme nulle en théorie. Auprès de À (x), elles occupent une place comparable à celle de cosx, tangæ à côté de sinæ; mais il ne faut pas forcer l’analogie. Ces trois dernières fonctions sont liées très étroitement par le cercle qui en représente géométriquement les propriétés, et qui, en Mécanique, en Physique, joue un rôle absolument hors de pair (ceux de la droite et du plan toutefois exceptés). Rien de semblable n’existe pour les fonctions À, ua, y, 5, ..., dont la portée des propriétés relatives ne dépasse pas celle d’un artifice quelconque de calcul.