NOTIONS SUR LES FONCTIONS EULÉRIENNES

Réduction de l'intégrale de première espèce à celle de deuxième espèce.

428. Les transcendantes étudiées jusqu'ici provenaient, directement ou indirectement, d’intégrales indéfinies considérées comme fonctions de leurs variables principales; celles dont nous allons nous occuper, et auxquelles le grand nom d'Euler a été attaché, ont bien toujours l'intégration pour origine première, mais elles sont fonctions de variables paramétriques accompagnant la variable principale dans certaines intégrales définies artificielles (238° et suiv.). Leurs propriétés sont fort curieuses, ainsi que leurs points de contact, soit entre elles, soit avec le logarithme, l’exponentielle et les fonctions circulaires.

Pour établir leur existence, nous nous appuierons sur deux lemmes qui d’ailleurs sont utiles dans beaucoup de circonstances analogues, el que nous COMMENnCErons par démontrer.

I. Sur un chemin d'intégration (limité) où f(x) offre une phase singulière en x = x seulement, l'intégrale définie artificielle [ f(x) dx existe, s’ilest possible d’assigner un exposant positif u<<1 (212), tel que le produit (x) = (x —2)"f(x) soit fint quand x tend vers à.

Nous supposerons pour fixer les idées, que cette valeur singulière & est précisément la limite supérieure de l'intégrale consi-

freeze [le—areecydr

et en appelant q quelque exposant positif (entier si on le veut)

dérée

; : T J ; à s qui soit >> -——, en opérant la substitution x = & + 44, d’où I— {4

dx — qi" dt, puis en posant 4 —(76— 2), nous changerons

notre intégrale en celle-ci

q f 44-91 (a+ 17) dt,

“to

dont le chemin d'intégration est évidemment limité aussi, et, rela-

tivement à la fonction placée sous le signe, ne contient toujours

que la valeur singulière £ — 0.

Or cette intégrale existe (242”, I), parce que la fonction placée sous le signe est maintenant finie pour limt —0o; effectivement son second facteur D(x + 47) est tel par hypothèse, et l’autre est infiniment petit à cause de (1 — u)g —1>0 (212 brs).

IL. Quand f(x) est olotrope sur un chemin d'intégration conduisant x de x, à l'infini, mais cela d’une manière telle

I : $ ANR SEAL que — parcoure en même temps un chemin limité, l'intégrale ZT

définie artificielle (1) [ Jx)ar,

prise sur ce chemin, existe s’il est possible d’assigner un eæposant positif 1, tel que le produit W(x)=— x f(x) soit fini quand x s'éloigne indéfiniment sur ce chemin.

Nous supposerons d’abord que le chemin illimité en question

s ; «EU I ne contient pas la valeur x = 0, et en opérant la substitution x — F.

« if . I d’où dr = — . dt, puis en posant {, — 7) NOUS changerons notre = 0

J fear [lawçaar

intégrale

Re]

CHAPITRE XIII. — FONCTIONS EULÉRIENNES. 477 dont le chemin d'intégration, limité par hypothèse, ne peut évidemment contenir d’autre valeur de #, qui soit singulière pour la fonction placée maintenant sous le signe, que { — 0.

Or 2 — y étant < 1 algébriquement, à cause de 1—v<o, il existe certainement quelque quantité positive pm comprise entre 2 — yet 1,et le produit de cette fonction par {Fest fini en { — 0;

car son dernier facteur w(2) est tel par hypothèse, et son autre

facteur 472" à un exposant positif (212 bis). L'intégrale (2) existe donc (1) et, par suite, la proposée (1) aussi.

Si le chemin d'intégration illimité dont il s’agit contient la valeur x — 0, son partage en deux tronçons, l’un limité, l’autre illimité, mais ne contenant plus cette valeur, décomposera l’intégrale (1) en deux autres existant, la première parce qu’elle est naturelle, la seconde parce que les considérations précédentes lui sont devenues applicables.

499. En supposant æ réelle non <oni > 1, appelant p, g deux quantités positives quelconques et æ?7!, (1—x) les valeurs de et?= tx, e(4-1)(1-x) correspondant aux déterminations réelles des logarithmes (212), on définit l’intégrale eulérienne de première espèce par la formule

(3) B(p, g)= [ar ry-tar,

#10 | où l'intégration doit être effectuée sur le segment de l’axe des quantités réelles, ayant x —0, x —1 pour extrémités.

La fonction à intégrer f(æ) cesse d’être olotrope seulement en x — 0 quand p n’est pas un entier positif, et en x —1 pour les mêmes valeurs de g (Loc. cit); mais cette intégrale arülicielle n’en existe pas moins, car les inégalités algébriques 1 —p<1,1—q<1 permettent évidemment d’assigner des exposants posiuifs Uo, pu inférieurs à 1 et Lels que les produits xmf(x), (x —1)"f(x) soient finis, le premier pour limx = o, le second pour limx —1 (428, 1).

Il est évident que l’intégrale(3) est une quantité positive qui décrott toujours quand l’un des exposants p, q vient à croître; car si l’on a par exemple p!<p”, on a aussi, pour toute valeur réelle

de æ comprise entre o et 1, RME D) LEP TERRE d'où, en intégrant de o à 1, B(p', g) > B(p", q) (28).

On a en outre B(p,g)=B(g,p),

car la substitution de 1 — 4 à x change la différentielle en — 19-1(1— £)P=1 dt,

et le chemin d'intégration en ce qu'il devient quand on le parcourt en sens contraire. |