II. On a rl an Gb) AE EU CRM VTÉ

Pour g = 1, la formule (4) donne effectivement

2 an D Æ1W0PE0).. (pr A)

B(p, Panne: B(p, 1),

et l’on a'évidemment

B( [) hi xPp—1 dx ce P; 3 p

431. On définit l'intégrale eulérienne de deuxième espèce par la formule

Le] (3) r(p)= [| ærte-rdr,

p étant toujours une quantité positive, et l'intégration devant être exécutée sur la partie positive de l'axe des quantités réelles. C’est encore une intégrale définie artificielle, parce que le chemin d’intégration est illimité, et que la fonction sous le signe entre dans une phase singulière en x —0, quand p n’est pas un entier positif.

Pour nous assurer de son existence, nous appellerons x, une quantité positive quelconque et nous la décomposerons en

X; æ 11 æP=-1e-x dx + [ æœP-le-x dx, 0 LE

intégrales auxquelles les lemmes du n° 498 sont applicables. Dans la première effectivement, la fonction à intégrer HrcienenNpeu’t cesser d’être olotrope qu’en æ —0; mais, comme ci-dessus (429), on peut toujours trouver un exposant p 0 el <1, qui rende le produit xt.f(x) fini pour limx —0o. Dans la seconde, f(x) est toujours olotrope, et, si l’on appelle v un exposant quelconque, le

1 xŸ+P—1 : : : Ÿ roduit x'f(x\— “—— est toujours infiniment petit, à plus forte

raison fini, pour une valeur de x infinie positive; ceci résulte de la discussion de ce rapport qui n'offre aucune difficulté (CF. 207).

Il est évident que l’intégrale (7) est toujours une quantité positive.

Des discussions précédentes, on conclut encore que les intégrales (3), (7) ne cessent pas d'exister quand p, q sont des quantités imaginaires à premiers éléments positifs. En développant, soit (1 — x)?! en série entière par rapport à æ, soit x?-! en série entière par rapport à T—1 , puis intégrant terme à terme les séries en lesquelles cette opération transforme les fonctions à intégrer, on prouverait facilement aussi que ces mêmes intégrales sont infinies dans tous autres cas. Mais ces constatations nous sont inutiles.

452. L'intégrale eulérienne de deuxième espèce se rattache à celle de première espèce par la formule (8) F(p)=lim{rPrB(p, n+:1)],

où n désigne un entier positif qui croit indéfiniment.

AS t ; ne La substitution x — = donne immédiatement

1 , nm l CAR EL f art xy dr = — ef <) dt

VE nP n

c'est-à-dire nPB(p, n+1)=T,(p),

en posant, pour abréger,

(9) me [ea s) de.

Pour toute valeur positive et fixe de 4, et pour toute valeur de » supérieure à £, la quantité positive

t\r It

croit avec 2 en tendant vers e-‘ pour n infini (Cf. 213), à cause de

t\n t ROME LÉPVN n n DAT SAV