VIII AVERTISSEMENT DE LA DEUXIÈME PARTIE

nature analytique du sinus et du cosinus. Mais, dans l’exposition de leurs propriétés, je me suis bien gardé d'abandonner pour de plus générales les méthodes si simples qui dérivent de leur étroite connexité avec la fonction exponentielle. J'aurais abrégé sensiblement le Chapitre VII, si, devant employer la même méthode pour les fonctions elliptiques, je n’eusse tenu à en expliquer le mécanisme sur les thèmes les plus simples. Je ne crois donc pas quil y ait là des longueurs inutiles; il me semble en outre qu'on voit bien mieux le fond des choses en procédant ainsi.

Dans l’étude des fonctions elliptiques, beaucoup d'auteurs ont cessé de prendre l’équation différentielle pour point de départ. J'ignore pourquoi, si ce n’est à cause des difficultés que paraissait présenter, dans cet ordre d’idées, la démonstration de la nonnullité du moment des périodes. Mais ayant réussi à établir fort simplement ce point essentiel (1), jugeant artificielles et beaucoup moins bonnes les méthodes d'exposition où le rôle dominant est conféré aux fonctions @, je me suis contenté de l'équation diftérentielle à l’époque éloignée déjà, où j'ai rédigé pour moi-même et en partie pour mon enseignement ce que j'ai placé dans les Chapitres VIIT à XII. Je crois avoir amélioré plusieurs parties de cette théorie. Par exemple, je raisonne sans cesse sur la fonction elliptique la plus générale, et je réduis ainsi à un fort petit nombre cet amas de formules embarrassées, qui sont habituellement présentées indépendamment les unes des autres, que personne ne retient, dont beaucoup, sans doute, sont à peine lues. De cette manière, on aperçoit bien mieux aussi l’origine des propriétés spéciales des fonctions A(æ), u(x), v(x), de celles en particulier qui ont fait choisir la première pour type de toutes les fonctions elliptiques. Sur toute cette théorie, M. Riquier a bien voulu me faire part d'observations variées dont plusieurs m'ont été d’un grand profit.

L'espace me manquait pour pousser la théorie des fonctions eulériennes au delà de ses éléments rendus si nets par des recherches relativement récentes.

L’exiguïté de mon cadre et la destination de ces Leçons s’oppo-

(*) Sur l’existence effective des deux périodes des fonctions elliptiques (Ann. scient. de l’École Normale sup., 3° série, t. I, 1884).