CHAPITRE II. — FONCTIONS MÉROMORPHES
numériques etaussi dans la représentation par des formules approchées, des phénomènes naturels dont les lois mathématiques ne sont pas exactement connues :
Etant donnée une fonction $(x), olotrope dans l'aire S, et étant nommées
(11) LAS OL RTL y
n valeurs particulières (inégales ou non) de x tombant dans cette aire, trouver un polynôme entier w,(x) de degré inférieur à n, tel qu'on ait toujours
On(Ti) = (x), Par) = v'(x5), ...)
qu (ar) = qUi-D(æs),
k; désignant généralement le nombre de celles des quantités (11) qui ont x; pour valeur commune.
Le polynome +,(x) existant certainement et étant unique (411*), nous n'avons plus qu’à le calculer par un procédé quelconque. Posons
(13) D(T)=(r —%)(æ— ZX)... (D — Ty),
polynome de degré » en x; à cause de la formule (10) du n° 37, à cause aussi des conditions (12) combinées avec la nature de la forme générale des dérivées d’ordres quelconques d’une fraction, exprimées en fonctions composées différentielles des deux termes, il est évident que, dans l'aire S, la décomposition des deux fonc-
tions méromorphes o(r
LA
En(æ)
donne les mêmes groupes de fractions simples (39). On a
donc (59)
pr (2 5 = FRS TEA oo) de
parce que le degré du polynome ,(x) étant essentiellement inférieur à celui de w(æx), la décomposition de cette dernière fraction rationnelle ne donne que des fractions simples (52), qu’ainsi le
second membre de la formule (10) se réduit au premier des deux résidus qui le composent.
La relation précédente conduit à
nt=v(r) £ (2)
wW(t)9 7 1
et le développement de ce résidu fournit immédiatement le polynome cherché v,(x).
63. La considération de la relation (8) du n° 53 permet de calculer facilement le résidu intégral d’une fonction rationnelle, qui joue quelque rôle dans certaines questions.
Pour des valeurs de x! suffisamment voisines de zéro, les fractions entre accolades sont évidemment développables en séries entières par rapport à æ/, et la somme de tous leurs développements, jointe aux fractions simples extérieures aux accolades,
