CHAPITRE II. — FONCTIONS MEROMORPHES

ou m est un entier positif quelconque, où w(x) est le polynome (13) de degré n,on a

(15) d (x) 10 ou = Zn;

selon que M<ND—1X OÙ non <7—I,

Dm n41 représentant dans ce dernier cas la somme de tous les monomes entiers dissemblables en &1, &s, ..., &n, qui sont du méme degré m—n+1 et qui ont 1 pour coefficient commun.

Comme ici, on a évidemment

n/a 1 T ] EU ENTER n g 1 ; 1\?

Dit T DIRTRTI (I LIT )(I—LeN )...(1—TnT )

le terme constant dans le développement du second membre en série procédant suivant les puissances de x’ à exposants entiers, négatifs et positifs, est égal au coefficient de xæ'’#7##1 dans le produit des sommes des séries entières en x’

+ mr +xir2+...,

I— 12 I 3 19 =I+H LT +<LST +..., To 'L À ll es ! 9 19 UNE Tnt XiTi ..., Tr

c’est-à-dire à zéro ou à Z»»41, selon que m — n +1 est négatif on non.

La formule (15) s’établirait facilement encore par voie de vérification progressive, en prouvant qu’elle est vraie pour des valeurs données des entiers m, n, si elle l’est pour toutes les combinaisons de valeurs moindres.

64. On en conclut notamment que st dans f(x) l’excès du degré effectif du dénominateur sur celui du numérateur est > 1 ou —1, le résidu intégral a pour valeur, dans le premier cas zéro, dans le second, le rapport des coeflicients des

plus hautes puissances de x dans les deux termes de cette fraction rationnelle.

65. En appelant généralement %,, le coefficient de (x — x9)" dans le développement en série procédant suivant les puissances de x — x, à exposants entiers, négatifs puis positufs, de la fonction méromorphe f(x) ayant l'infini x, de degré y, on a évidemment

he J(æ)

Er Cx=x, (æ — T9 j+1

Cette observation, que nous avons déjà mise à profit au n° 59, s’applique d’elle-même au cas de n — 0, c’est-à-dire où f(x) serait olotrope en x,. Elle fournit ainsi, pour les coefficients du développement par la formule de Taylor d’une fonction d’une seule variable, une autre notation qui rend des services d’une utlité appréciable dans certaines circonstances. L'exemple le plus sallant est fourni par les formules de Cauchy pour l’intégration des équations différentielles linéaires à coefficients constants, dont nous aurons à nous occuper dans la troisième Partie de cet Ouvrage.