FONCTION RADICALE SIMPLE

Règle de convergence de Gauss.

66. Cette règle, d’ailleurs fort belle en elle-même et fort importante, nous sera utile plus tard (243, 273, énf.); nous en placons la démonstration ici, parce que nous aurons besoin, dès ce Chapitre, de quelques-unes des propositions sur lesquelles elle s'appuie.

Soit h, une variante réelle infiniment petite qui finit par conserper un signe constant, et pOosons

P,=(1+h)(i+h)... (+ Ah),

en admettant qu'aucun facteur de ce produit ne se réduise à 0. Si la série

(1) hi+ ho +... + in +...

est divergente, le produit P, est infini ou infiniment petit pour n infini, selon que le signe final de h, est + ou —.

Supposons d’abord d’un même signe tous les termes de la Her).

S'ils sont posiufs, sa somme est infinie (102*, [), et P, à plus lorte raison, à cause de P, > 1+ hi + hot... + ln.

S'ils sont négatifs et tous 1 en valeurs absolues, l'inégalité évidente 1 —(+ ,)?<1 donnera

1+ An < MORE 1— ,

puis [

He COM) — ha)

où le diviseur est infini par ce qui précède.

Quand les termes de la série (1) n’ont pas tous un même signe, ni des valeurs numériques <[1, ils finissent néanmoins par satisfaire à cette double condition, et l’on raisonne de la même manière en négligeant pour un instant ceux des premiers facteurs de P, qui ne la remplissent pas.

67. La règle que nous allons établir repose sur Ja comparaison des séries qu’elle intéresse avec la suivante |

où l’on a

(3) HG RE ee RES

expression dans laquelle «, b désignent deux quantités réelles invariables ne se réduisant ni l’une ni l’autre à un entier négauf, qui, par suite, est toujours réelle et conserve un signe constant à partir du moment où a + n, b + n restent positifs. La nature de cette série est déterminée par un théorème dont voici l'énoncé.

Quand on a (algébriquement) (4) a— b<—1,

la série (2) est convergente, et sa somme S', son reste KR, sont donnés par les. formules

ns HONTE G) De a—b+i

nr a+ (6) re purs F(a+i1, b, n).

Quand on a au contraire a — b5—1,

la somme de ses n premiers termes est infinie; par suite, ily a divergence.

I. Pour n infini la variante (3), qur conserve la valeur constante 1 quand a = b est, infinie ou infiniment petite selon

qu’on «a a — bo.