Quand on finit par avoir

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(10) Han Du(e D ES ren ent 0 À Piel En CE ur on n n

les coefjicients 31, g», ... étant naturellement réels, la série (9) est convergente ou divergente selon qu’on a

ou I. Dans le premier cas on peut trouver une quantité réelle g, donnant (algébriquement) A il

moyennant quoi le rapport (10) finit évidemment par demeurer

62 DEUXIÈME PARTIE. — FONCTIONS D’UNE SEULE VARIABLE. inférieur à la quantité, finalement positive aussi, / INTO £ g' \? 1 n UE). JR

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qui, pour 7» suffisamment grand, est précisément le rapport du (7 — G + 1)}°"° terme au précédent dans la série dont

est le terme général; G désigne ici quelque entier positif choisi assez grand pour que les quantités G — 1, G— g, —1 ne se réduisent ni l’une ni l’autre à un entier négatif.

Cette dernière série étant convergente (67), parce qu'on y a

d’où

la proposée (9) l’est également (102*, IV), et l’on obtient immédiatement une limite supérieure de la valeur absolue de son reste, en combinant les formules (9) du numéro cité et (6) ci-dessus.

Il. Dans le second cas, appelons 0 une quantité réelle non égale à un entier négatif el satisfaisant à l’inégalité algébrique

0 +1 52° Pour la série à termes finalement positifs

+ ,., + re 04-72

le rapport du (nr + 1)" terme au précédent,

0 = nt 00MT FAN OPEL 9 je Ex. nb ) TA Si > +R finit par rester inférieur au rapport (10), même quand g, = —1. Cette série étant divergente (98*), la proposée l’est forcément aussi (102*, V). \