X AVERTISSEMENT DE LA DEUXIÈME PARTIE
que M. Tannery ne le suppose, à croire que « la chose en sot est une fonction » analytique », c’est-à-dire, en un langage précis, à voir une grande loi de la nature dans l'aptitude des séries entières à nous raconter mathématiquement tout ce qui se passe dans le monde matériel. Cette loi, je suis bien forcé de l’admettre, puisque dans les expériences et aussi bien dans tous les calculs qui ne sont pas des romans, rien jusqu'ici n’a pu la mettre en défaut, C’est dire que je ne puis éprouver les appréhensions de M. Juel sur l'insuffisance possible de la notion des séries entières dans les questions de Physique mathématique. Pour pouvoir raisonner sur ce terrain, il faut de toute nécessité hasarder la PRÉsuPPosITIoN que les fonctions naturelles sont continues, même douées de dérivées, intégrables, .... À quel danger plus effrayant, je le demande un peu, pourrait-on bien s’exposer, si au lieu de tout cela on prenait leur simple « olotropie » pour autre axiome, puisque, dans les formules susceptibles d’application, cette propriété n’est pas moins constante pour elles que la continuité, etc.?
C’est répéter enfin que la conception des fonctions, développée systématiquement en dehors de la notion des séries entières (immédiate ou
infiniment petit, propriété ayant pour point d'appui, nécessaire dans cet ordre d'idées, celle appartenant à tout arc de surpasser sa corde en longueur, d’être inférieur au contraire, quand il appartient à une ligne plane et qu’il est convexe, à tout arc analogue l’enveloppant.
La comparaison numérique de deux longueurs est sans doute directement possible quand elles sont indéfiniment sécables en parties géométriquement superposables, c’est-à-dire quand elles sont rectilignes ou découpées soit sur une mème circonférence, soit sur une même hélice. Mais ces trois cas sont les seuls de leur genre, et en dehors d’eux la comparaison ne peut s'effectuer autrement que par celle des longueurs variables de lignes brisées à côtés infiniment petits, inscrites convenablement dans les arcs considérés; avant tout il faut prouver que chacune de ces longueurs variables est douée de quelque limite. Cette preuve est des plus faciles à faire nettement et rigoureusement, quand il s’agit d’un arc dépourvu de points singuliers, c’est-à-dire entièrement décomposable en parties pour chacune desquelles deux des coordonnées d’un point sont exprimables en fonctions olotropes de son autre coordonnée (tels sont, qu’on veuille ou non en convenir, ceux que l’on trouve sur toutes les lignes prises en quelque considération jusqu'ici), et quand on fait appel aux propriétés les plus simples des séries entières. Autrement Je la déclare absolument impossible à fournir, sinon (et encore!) par des moyens infiniment plus gauches et encombrants, n’embrassant d’ailleurs rien de plus en fait. À qui le désirera je montrerai l’infirmité à peu près incurable des raisonnements de ce genre qui se répètent pour ainsi dire partout.
Admettons encore que la mesure des figures courbes dont on se contente au Baccalauréat et même plus haut soit irréprochable : je demanderai toujours quels titres spéciaux la Géométrie peut invoquer pour intervenir dans l’Analyse plus que la Mécanique, la Physique, la Chimie, etc., quelle fondation solide on pourra bien lui trouver si, au lieu de l’appuyer sur l’Analyse, on veut échafauder celle-ci sur elle.
