CHAPITRE III. — FONCTION RADICALE SIMPLE

autres quantités positives choisies, comme on le peut évidemment, de manière à satisfaire aux inégalités

lm In Mn Ur (3) CRE MATE STE si À est positif, ou bien (4) v'm ErR, Lv//2 Be En

si À est négatif, puis enfin S, l’aire annulaire comprise entre les deux circonférences ayant l’origine O, pour centre commun avec ue v” pour rayons respectivement, aire évidemment limitée qui content #,, mais non le point # — 0.

Comme le premier membre de l'équation (1)est olotrope à l’intérieur des aires Sz, Sy, comme d’autre part sa dérivée première par rapport à w se réduit à mu%-t, fonction qui, quelle que soit x, ne peut s’évanouir que pour w — 0, valeur extérieure à $,,, la fonction implicite w existe et reste localement olotrope aussi longtemps que sa valeur ne s'échappe pas de laire S, (310*). Or c’est ce qui arrive aussi longtemps que x ne franchit pas les limites de l'aire S on y a les inégalités constantes

mode Er,

dont la combinaison avec les précédentes (5) ou(4)et l'équation (1) donne constamment aussi

v'< modu < v”,

UT. À partir de toute valeur initiale de x, Z;7<0, le développement de la fonction implicite w par la formule de Taylor admet au moins modx; pour rayon de convergence (Cf. 78,

IL, inf).

Car w est localement olotrope à l’intérieur de tout cercle décrit de x; pour centre avec un rayon quelconque inférieur à modæ; (I); de plus, elle est monodrome dans cette aire parce que celle-ci est imperforée (173*), et partant olotrope, à proprement parler (201*)

IV. Pour toute valeur de x 0, et quel que soit l’indièe k, on & di u u

(5) AUDE D (ue Æ 2 1)

dxk — x?

où nous avons posé pour abréger

m On trouve d’abord(311*) du LR PIC x RONA DT AOL dx mu’!-1 Fur ATOS

à cause de l'équation fondamentale (1).

Il vient ensuite pour une valeur quelconque de l’entier q

PSE TC LL 7 | u — — = — — — — ÿ} ps PET es 7 HET PACE æ1+1 Ù TL) 951?

relation dont la combinaison avec la précédente différentiée indé-

finiment conduit à celle que nous avons en vue.

V. Si donc on appelle w; la valeur atteinte par w en x = x;, la formule (5) donne pour le développement de cette fonction par la formule de Taylor à partir de x:,

UT Dj PRE Ne cream Et (6) AE PMR RL U; (LT 5)" T—%; +u(u—i).. (uk + ED) = > +... =; MATE Ê ( ) ( mu” les 1.9, /: fu 20 Tj }

en posant généralement pour abréger

m(m—1)...(m— +1) HV

4 nm DONRUD AN NTM ER RES (3) 2 ( ? ) [ 12676

VI. Siu se réduit à un entier positif (ou nul), la fonction u est encore olotrope en x —0, par suite indéfiniment (AE). Sinon elle y entre dans une phase singulière, en y étant méromorphe (29) quand w est un entier négatif, mais non méromorphe dans tous les autres cas.

Dans le premier cas, tous les termes du développement (6) qui sont postérieurs au (u + 1)" contiennent le facteur nul(u — 4); ce développement se réduit donc à un polynome entier en (x — xi) de degré x, et l’on a évidemment -

Ent 4 AN 1 Uÿ U= U;\ IE — = — æb.