CHAPITRE III. — FONCTION RADICALE SIMPLE
parce qu elle se réduit au produit de w; par la somme de la série (9) augmentée de 1, c’est-à-dire par o (67, IL).
IT. Si p — 0, toutes les quantités (9) sont nulles, et la série (6) se réduit à son premier terme w;.
IT. Si p est négatif, il y a plusieurs cas à distinguer.
Quand x — 0, la série (6) est divergente avec une somme infinie; on a effectivement 0 — 1, et la série (9) a une somme infinie à cause de (—u—1)—0o>>—1 (67, IV).
Quand xznon — 0, le second facteur de l’expression (8) est infiniment pelt, constant (— 1) ou infini, pour Æ infini, selon qu’on a (—u—1)— 00, c’est-à-dire UE — 1 (67,1).
Dans les deux derniers cas la série (6) est divergente parce que son terme général n’est pas infiniment petit. Mais dans le premier elle est convergente à cause de mod0 = 1 avec À non — 1, parce que le second facteur dont il s’agit finit par conserver un signe constant et par décroître numériquement sans cesse (100*).
La combinaison de ces conclusions avec le théorème du n° 126* montre que, méme dans ces cas extrêmes, la série (6), pourvu qu'elle soit convergente, a toujours pour somme la valeur acquise par la fonction u au bout d’un chemin ayant x; et x pour derniers sommets. En x — 0 toutefois, il faut avoir égard à ce que nous dirons plus bas (103, énf.) sur la variation de la foncon w qui, en général, n’y est plus olotrope.
13. Nonobstant ce qui vient d’être observé, nous n’emploierons Jamais le développement (6) que sous la condition de rigueur
mod(æ— x;)< modx;.
En procédant ainsi nous aurons toujours des séries de convergence certaine, et surtout nous ne serons pas exposés à atteindre la valeur x — 0 pour laquelle notre fonction cesse habituellement d’être olotrope.
Sur un même chemin donné, issu de la valeur fondamentale x, de +, la valeur de la fonction w ne dépend jamais que de celle de
. nm CE . la fraction ea nullement de la forme de cette dernière, et aussi de
sa valeur fondamentale w, qu’on peut choisir de plusieurs ma-
nières; c’est ce qui résulte des diverses observations faites au n° le Nous représenterons donc provisoirement la valeur que w acquiert
J m Le en sous-entendant qu'il s’agit d’une valeur fondamentale de w et d'un chemin, tous deux préalablement définis.
en æ par
74. La plupart des propriétés générales de la fonction f résultent des combinaisons variées des formules fondamentales que nous
allons établir.
Si, appelant x!, x", ...,ax(8), g variables indépendantes cheminant arbitrairement à partir des valeurs fondamentales CNE RRAAIQN Ter ésenLe DR
les déterminations de la fonction f CE 2) qui correspondent
aux valeurs fondamentales (g) U4, 7 US HARRIS
et si K', K', ..., sont g exposants entiers de valeurs et de signes quelconques, on a l’identité
n IK' 1/4 f n K 2 " KE (10 RER TER | — SANT. LATE Ver ( AE ) HE )] E m°
le premier membre étant, bien entendu, la valeur de la fonction
En
n \ à FAR LU ; u = (5 ) au bout du chemin décrit à partir de
Fy = LOT OMRTREE par QD EAST cette fonction u partant de la valeur fondamentale
ui UE
En élevant à la mième puissance le premier membre de la rela-
