ML CT

MU

quantité dont, pour x infini, le module a pour limite mod, quel

que soit M. S1 donc mod£ est > 1, le module du terme général finit par croître sans cesse, et 1l y a divergence. Si l’on a au con-

traire modé<1,

le module du terme général est fini parce qu'il arrive à décroître sans cesse. D'où l’on conclut (114*) que la série admet pour rayon de convergence toute quantité positive inférieure à 1, par suite 1 aussi.

IV. La série(5) peut étre mise sous forme d’une série entière en M, c endistinctement, dont les rayons de convergence sont le premier illimité, le second = 1.

Si M, 7 désignent les modules de M, t, la somme de ceux des termes élémentaires du développement du terme général de notre série en un polynome entier par rapport à M, £ est évidemment

k, LOT

c’est-à-dire le terme général de la série 9(— M, r —+). Cette dernière étant convergente quel que soit M pour + < 1 (LIT), le point en question est une conséquence immédiate du théorème du n° 107*.

En ordonnant cette série par rapport à M, et posant ainsi (14) (M, 1+é)=1+ Aim+ Aom+...,

les coefficients A,, À:, ... sont des fonctions de t, d’une forme très simple que nous indiquerons tout à l’heure (85, inf.).

19. La fonction d(M, x) se réduit toujours à x", pour Mentier (positif ou négatif). Car, par définition, son premier développe-

ment o (M, 1+æ—1)estalors en fait celui même de ce monome, construit par la formule de Taylor à partir de x = 1 (177*).

À l’aide du lemme suivant nous lui étendrons immédiatement, pour toutes valeurs de M, les propriétés générales trouvées aux n% 74 et suivants, pour des valeurs réelles commensurables de ce paramètre.