En supposant praticables pour la pseudo-fonction

tous les chemins à considérer, point que nous éclaircirons dans un instant (IIL, nf.), nous aurons ce qui suit.

I. Cette fonction satisfait à l'équation différentielle d'ordre quelconque k

du u (18) ré CN — 1), CTESESERS

4 ma \

Pour toute valeur réelle commensurable mn —H du paramètre M, le premier développement de L{(nt, x) satisfait certainement à celte ; : , ; n 5 :

équation, car 1l est alors celui même de 1e z), construit sous

la condition numérique x5— U9—1, qui salisfait, comme nous l'avons vu, à l’équation (5), forme correspondante de celle-ci. D'autre part, en substituant à w le premier développement

de Ÿ(m, x), savoir o (it, 1 RENE série dont tous les coeffi-

. 0 A I L4 clients sont des polynomes entiers en Mt, à LE SON développement

par la formule de Taylor à partir de x — 1, les deux membres de cette équation se transforment en des séries entières en (æ — 1) dont les coefficients sont tous évidemment aussi des polynomes

; D. : Fe n entiers en M; et l'égalité identique de ces deux séries pour it —

entraîne l'égalité numérique indéfinie pour les mêmes valeurs de it, des polynomes entiers qui dans les deux membres servent de coefficients à des puissances semblables de + — 1. Les valeurs inégales de ce genre qu’on peut attribuer à M étant en nombre évidemment illimité, les polynomes dont il $’agit sont égaux entre eux pour toutes valeurs de it (79); par suite, les premiers développements des deux membres de l’équation (18) sont égaux identiquement pour toutes les valeurs imaginables de mt. Tous