CHAPITRE IIIL — FONCTION RADICALE SIMPLE. vin

leurs développements ultérieurs sont donc aussi identiquement égaux (177*), ce qui est précisément le point à établir.

IT. Ainsi qu’au n°71, V,on en déduit immédiatement pour le développement de d(W, x), à partir de x = x;,

À EX — Dj (19) V(m, æ) = u:v (n, 1 + —— »

où w; représente toujours la valeur acquise antérieurement par MUbiE)en r;.

UT. Pour tt non entier nul ou positif, la série ©(M, 1 +— £) ayant 1 pour rayon de convergence maximum (78, III), e développement (19) reste valable pour toute valeur de x intérieure au cercle de centre x; et de rayon = modx;, et cesse, de l’être en dehors.

Il en résulte évidemment qu’on peut arriver par cheminement à toute valeur de x non nulle, en d’autres termes que d(W, x) est localement olotrope partout ailleurs qu’en x = 0.

Mais cette fonction cesse d’être olotrope en x — 0, car autrement elle le serait indéfiniment, et le rayon de convergence du développement (19) serait illimité (206*) au lieu d’avoir mod; pour valeur maximum.

Pour elle comme pour f (7, æ), les seuls chemins praticables

sont donc ceux dont aucun sommet ne coïncide avec l’ortgine O;, et dont la longueur de chaque côté est inférieure à la distance de son sommet antérieur à cette origine.

IV. Pour aucune valeur de x non — 0, la fonction 4 ne peut S’évanouir. Car, si l’on avait u;—0, on aurait, d’après la formule (19), Ÿ(M, x) = o identiquement, ce qui n’est pas, puisque son premier développement contient certainement des coefficients

non nuls.

V. On notera que la série @(M, 5 +4) n’est pas autre chose que la valeur de L(nt, x) à l'extrémité du segment rectiligne allant

DT à x — 1 + é.