CHAPITRE III. — FONCTION RADICALE SIMPLE

Même raisonnement fondé sur ce que les premiers développements des deux membres ont pour coefficients des polynomes entiers en M4, ..., M4, et sur ce qu'ils sont égaux identiquement, pour toutes les combinaisons de valeurs réelles et commensurables de ces quantités (75).

IIT. On a de même, pour toutes valeurs de "1, w, dm, dm, æ)]= L(m'm, +).

Même raisonnement (76).

82. La relation générale Cr permet de mettre sous une forme remarquable la formule de différentiation (18).

En y prenant g — 2, K;——K:=—1, M, —m, nt: — #, elle donne DONATION EN ee bm— A, x) — HT ape AO.

On en conclut

dk dim, x) ,

(22) . = MOM—I)...(m—£ +i)b(m— Ex, x).

83. Quand 1 n’a pas la valeur — 1, le changement de 1 en M + 1 et l'hypothèse Æ — 1 réalisés dans la formule (22) don-

nent en intégrant

si V(m+r, x) __æp(m x), 8 SÉCm, x) dr FA + GC RER + G (81, IT).

Pour M——1, cette formule devient illusoire : (MW, x) se

LA = 1 I Li , Q À L4 e réduit à —» et l'intégrale est le logarithme népérien dont nous parlerons longuement plus tard (Chap. V, ënf.).

S4. Cette autre propriété caractéristique d’un genre tout différent nous sera bien utile aussi.

Si Les quantités cs. Li, %i, Tir,

forment une progression géométrique de raison q, les valeurs

correspondantes de 4(w, x) en forment une autre de raison

Car (en supposant ces valeurs de x suffisamment rapprochées) les égalités

Di Titi = y Ti-1 Vi donnent oo Vi Li: Titi Vi re, Ti Ti A É d’où (80, IT) U; U; = = He, “(MONET Uj- Ui

85. Maintenant il nous est facile de calculer les coefficients de la série (14). Gomme (M, 1+6) est la valeur de L(m, x) à l’extrémité du segment rectiligne allant de x =1 à x —1+t, lidenité (21) donne, pour g —2, K;—=K:=1,11, =, M =,

En égalant les coefficients de 2 dans les deux membres, celle-ci donne

A LE 1+{)= A;o(m, 1+é), ;

d’où, en égalant encore les coefficients de 47",

kAz = A1 Ax-1, puis immédiatement

D'ailleurs on a visiblement A, = T, si pour plus de commodité

on pose T t 12 L

Il en résulte finalement

T T m2 D ne