CHAPITRE III. — FONCTION RADICALE SIMPLE

formule qui met en lumière le point de contact fort étendu, existant entre la présente théorie et celle des transcendantes exponen-

tielles et logarithmiques (Chap. V, inf.).

86. La comparaison des valeurs finales acquises par d(1, æ au bout des divers chemins qui peuvent conduire x de Lo(—= 1) à une même valeur finale X est une question d'importance majeure que domine cette première observation.

Deux chemins conduisent h(n, x) (et toutesses dérivées) aux mêmes valeurs finales, quand ils ne sont pas séparés par l’origine Oz, c’est-à-dire quand il n’est pas nécessaire de faire franchir ce point à l’un des deux chemins pour l’amener à coincider avec l’autre par déformation progressive.

Car Ÿ(M, x), étant localement olotrope partout ailleurs qu’à l’origine æ — 0 (80, IIT), l’est nécessairement à l’intérieur de l’aire à faire balayer par l’un des chemins pour l'appliquer sur l’autre, puisque cette aire est supposée ne pas contenir ce point (173*).

La même observation s'applique évidemment à deux chemins de première extrémité commune x; quelconque, pourvu toujours que d(m, x) (et ses dérivées) partent de x; avec les mêmes valeurs initiales pour l’un et pour l’autre.

81. Quant aux chemins séparés par l’origine, ils peuvent être ramenés comme :1l suit à des formes facilement comparables.

Renfermons l’origine dans quelque aire limitée par un contour fermé ne se coupant pas lui-même ou anneau [Oz], et traçons de x, à X quelque chemin [ToZ X] passant par un point 4, pris arbitrairement sur l’anneau. Il est visible que tout chemin tracé de x, à X peut, sans franchir l’origine, venir s'appliquer sur celut qu'on forme en plaçant bout à bout, d’abord le premier tronçon [xo&4,] du chemin [x æ(1X], puis l'anneau [O1] parcouru de x, à &y1, dans un sens de rotation et un nombre de fois convenables, puis enfin le dernier tronçon [x,X] du même chemin [xx X]. Il en résulte (86) qu'au point de vue des valeurs finales de Y(w, x), le premier de ces chemins équivaut au second.

Ïl est encore visible que deux chemins du genre de ce second