CHAPITRE II. — FONCTION RADICALE SIMPLE

Il en résulte qu’on peut calculer du, q) par un seul pas fait de x—=1àx—g,au moyen de la formule

bu g)= ou 1+9 —i).

Cela posé, nous avons encore à reconnaître que, s£ 4 est compris entre o et 1, Ÿ(u, q) est une quantité primaire de pente inférieure à celle de q.

Pour cela nous substituerons à la marche directe de 1 à 4 deux pas faits, le premier de æ—1 à 2 —q" sur l’axe des quantités réelles, le second de x — g' à x = q'+ig", ce qui est évidemment permis et donne (80, II) |

(39) Vu, g)= Yu, ge 1+cY), L désignant la pente de 4, supposée 1.

Les éléments /o, "© du second facteur sont immédiatement fournis par les formules |

+ |— B(H— T1) pe OR 4 |,

où, à cause de y<L1,m<1, les termes des séries entre crochets sont positifs et négatfs alternativement à partr des premiers, et décroissent sans cesse et sans limite. Les sommes de ces séries sont ainsi des quantités positives inférieures à leurs premiers termes ; /o, lo sont donc des quantités positives, la première 1, la dernière y, et o(u, 1 + y) est ainsi une quantité primaire de pente inférieure à uy.

Quant au premier facteur Y(u, g'), il est réel, positif (94). Le second membre de la relation (39) est donc aussi une quantité primaire, et sa pente est égale à celle de son second facteur, c’està-dire inférieure à y, à plus forte raison à y.

100. Considérons maintenant les quantités formées comme :l suit avec les facteurs de la formule de décomposition (33)

Dr DU — qu, AE RERO EE Fe mie Gao ato+1) — ;œû), x\o+2) — UF AGIR % xl20) — 1x6) — 52 — x(25+1) — ta(s+i), CET, |... 20) — j%20) — y3 —

AUO) — 1%080) — j#

De x à æ%+1) on marche, quel que soit k, dans le sens de rota- > 4 q ; tion direct; car on a toujours æÂ+1) = x q, q désignant l’un ou l'autre des facteurs g;, Go, :.., Go TOUS primaires et, par suite VEERUEE ) P IE ) pourvus de seconds éléments positifs (98, T).

On a PLU) pin)

x) — mod(g 1) 4,

mo

parce que modg —1 et que la pente de g est toujours < 1 (99).

Enfin la ligne brisée fermée qui a tous les points correspondants pour sommets enveloppe une seule fois l’origine. Effectivement, de æ(%=— 1 à x) — x, on marche à l’intérieur de l’angle formé par les parties positives des axes, parce que æ(1), ..., x(9=1) sont toutes des quantités primaires; de x —5 à x®29)—— 1; on marche dans l’angle formé par la partie positive de l'axe des seconds éléments avec la partie négative de l’autre, parce que les quantités TO rt), ..:, 220 TM ont lEnRRRSRES éléments tous négatifs et leurs seconds tous positifs. De x29 = —1 à &689 — — ÿ, puis de x — — ;àx40) — 1, on marche enfin dans l’angle des parties négatives des axes, puis dans celui de la parte négative du second avec la partie positive du premier, ce dont on s'assure de la même manière.

Il résulte de tout ceci que les quantités (40) peuvent étre prises pour sommets de l'anneau [O,] du n° 87.

En adoptant ce tracé et en ayant égard aux formules (31), (40), on trouve immédiatement la suivante

(D) b(u)= lou, 1+gi—i)ou, 1+ gai)... ou, 1+ 961) que nous écrirons (81, Il)

(42) P(p)= p(âm 14+ qi)... pau, 1+ oi).

101. Cette dernière rend facile la discussion de ®(u), qui se résume comme 1l suit.

[I Ona PI0)=1