CHAPITRE III. — FONCTION RADICALE SIMPLE

ou —1, la relation (43) montre que les nombres entiers (de valeurs et de signes quelconques) sont les seules valeurs de n qui puissent donner D(u)—1.

VI. Les quantités D(u), D(— y) sont toujours conjuguées. Car toutes deux ont 1 pour module (97), et leur produit

se réduit au carré de leur module commun (73*).

VII. La considération du point qui représente graphiquement la valeur de (x) donne lieu aux observations suivantes :

1° Ce point est toujours situé sur la circonférence de rayon 1, qui a son origine pour centre (9T).

2° Quand p croit dd EàE + parier Fous. E + 1,1/passe

de 1 @t1, —1, —1, 1, en exécutant sur cette circonférence une seule révolution de sens direct autour de l’origine (IV).

3° Quand y. décroit de E à E—2 E—;,E— 2 E—1, il

passe de 1 à —1, —1,t, 1, par une seule révolution rétrograde (VI), (IV).

4° Les points qui correspondent à des valeurs de a en progression arithmétique de raison quelconque k sont les sommets d’une ligne brisée régulière de côté [mod®(h)— 1], inscrite dans la même circonférence. Les relations D(u+h)—æD(u)b(k) et mod®@(u)— 1 donnent effectivement

mod[P(u+h)— D(u)]=modb(u)mod[b(A)—1]=mod[fP(A)—71].

VIIL. Le développement des facteurs de l’expression (42), opéré comme nous l’avons expliqué au n° 85, fournirait celui de (x) en une série entière en uw, de convergence illimitée (Cf. 90). Mais la théorie de la fonction exponentielle nous conduira à un résultat

beaucoup plus net (212, inf.).

102. Relativement aux valeurs finales de d(u, x) au bout des divers chemins qui conduisent de x, —1 à X, on a ce théorème :

Quand w est un entier (de valeur et de signe quelconques),

loutes ces valeurs sont égales, et du, æ) est monodrome. . . f L n LA e.

Quand n est une fraction irréductible == de dénomina-

teur m>1, Ÿ(u, x) a précisément m valeurs finales distinctes et par suite n’est pas monodrome.

Quand 'est incommensurable, toutes les valeurs finales de (y, æ)sont différentes les unes des autres, et cette fonction n’est pas monodrome.

I. La relation générale (32) du n° 91 donne au rapport des termes de la progression géométrique (30) du n° 89, où l’exposant de (y) a les valeurs inégales Æ,, 2, la forme

Si donc x est un entier, (X: — ,)u en est un autre, et ce rapport se réduit toujours à 1 (101, I). L'identité Ÿ(u, x) = x, existant dans ce cas particulier (79), rendait facile la prévision de cette conclusion.

. n , 2 x Pa 11 25186 — et parce que ? est supposé premier à 72, la quan-

Ur t À : 5 $ uité (ko — ki) ne peut être un entier, et par suite (101, V) p |A ki) | ne peut se réduire à 1, que si 4, — k, est divisible

m par 77.

F °n Il en résulte que les m valeurs finales de Ÿ (4 æ)

U, æ(7)U, e(2e)u, ie Ca Er L' nt m mn

sont inégales, mais que chacune des autres est égale à quelqu'une de celles-ci. Les termes de la progression (30) du n° 89 se reproduisent indéfiniment à m rangs de distance.

IT. Si u est incommensurable, (k; — X,)x1 ne peut se réduire à un entier, ni par suite D[(A>—/k,;)p] à 1; deux termes quelconques de la même progression sont donc toujours inégaux.

103. Quand x tend vers o, 4(u, x) est infiniment petite ou infinie selon qu'on amZo.