CHAPITRE I. — PONCTIONS OLOTROPKS

possède quelque racine, ou bien quelque valeur infinie de u donne

(a) Iim/(w) = X,

ou bienf{x) dégénère en une constante.

SI le premier fait éooDcé n'a pas lieu, ni le troisième non plus» la fonction de u,

n'a aucun zéro et ne se réduit pas à une constante ; de plus, comme elle est indéfiniment olotrope, son inverse arithmétique l'est pareillement (250*, II) et ne dégénère pas en une constante. On en conclut par ce qui précède (8) l'existence de quelque valeur infinie de Uj rendant infinie l'expression

rendant par suite infiniment petit son dénominateur (3), ou bien, ce qui revient au même, donnant la relation (2).

10. Les deux propositions précédentes ont lieu et se démontrent de la même manière pour un nombre quelconque de variables indépendantes. Elles montrent que toutes les valeurs imaginables, même l'infini, si Von peut parler ainsi, sont accessibles à une fonction indéfiniment olotrope {ne dégénérant pas en une constante).

M. Sous les mêmes conditions comprenant en outre pour f{u) celle de ne pas dégénérer en une constante, et en appelant

les zéros que peut posséder f {u)^ en posant

(5) û' = /(b'), a' = /(b'), ... et

oà «0 est une quantité non égale à quelque terme de la suite (4), mais d'ailleurs arbitraire, r équation numérique (i) n'a pas d'autres racines que les termes de la suite (4) satisfaisant par hasard à cette équation, avec les valeurs acquises au bout de tous les chemins tracés de Xq à X. sans contenir aucun des points (5), par la fonction implicite u^^^{x) que définit l'équation

accompagnée de la condition initiale

u = uq pour X = Xijj dont l'égalité (6) autorise ^adoption.

I. Soit U une racine de l'équation numérique ( i), ne se trouvant pas dans la suite (4)* Comme dans tout espace limité, les quantités (4), zéros de /'(«), ne peuvent être contenues qu'en nombre essentiellement limité, parce que f'{u) y est olotrope mais non identiquement nulle (4), on peut évidemment découper dans le plan servant à la notation graphique de u une aire limitée Su contenant les points Uq, U à la fois, mais aucun des points (4)) et de configuration telle qu'on puisse y tracer de Wo àU une ligne brisée dont les côtés sont de petitesse arbitraire.

II. On peut assigner une quantité positive V telle, que deux racines de l'équation (7), résolue numériquement par rapport à u pour une valeur quelconque de x^ soient égales toutes les fois que l'une d'elles est intérieure à S« et que le module de leur différence ne surpasse pas T.

C'est une simple conséquence particulière du théorème général (308*) qui est applicable ici; effeclivemenl/(w) — .r, premier membre de Téquation (-j) mise sous la forme normale, est une fonction indéfiniment olotrope, et sa dérivée par rapport à u se réduit à f'(u), fonction indépendante de x^ pour cette cause ainsi que par hypothèse, non = o pour toute valeur de x associée avec toute valeur de u tombant dans Su.