II. Supposons d^abord que l'on ait indéfiniment

(3i) jï = il = mi = ïj = mt = . . .= w,

cas auquel les premiers membres des équations numériques (20) prennent tous les formes simples

TîT,, Tîjj, . . . représentant certaines constantes (non nulles). Supposons en outre, pour plus de simplicité, que la série x^D{u) se réduise au terme principal de /(x, w), que nous représenterons maintenant par mx^u'^y en sorte que l'on ait [formule (2)]

f{Xy u) — xi[mu'" -h arE(a7, m)].

De la relation générale évidente

où l'on a représenlé par ^(^r, a), i une fonction olotrope et un indice de diiTérentiation quelconques, on déduit ici en particulier

(Sa) < =37^*-'* /n(m — i)...(m — t-+- i)nT^(uA- — «a)'""*'

En y faisant « = i, 2, . . . , m — i, cette relation montre que pour chacune des dérivées

/(o,i)(ar, W), /I0,î)(;r, M), ..., /o,m-i)(T, w),

13i DEUXIEME PARTIE. — FONCTIONS D'UKE SEULE VARIABLE.

la suite (19) jouit exactement des propriétés admises pour/(j:, u) dans la seconde partie de notre énoncé, à cela près que la valeur invariable des entiers (3i) s'abaisse à

m — I, (m — '.>.), . . ., I respectivement.

Ceci a lieu en particulier pour la dernière

comme elle n'est plus que de grade i, Téqualion obtenue en l'égalant à zéro possède une seule racine olotrope en .r == o (131), et le développement de cette racine ne peut être que la série (^'à). Effectivement le théorème du n° 133 montre que les coefficients de ce développement satisfont nécessairement et respectivement aux équations linéaires

m(m — i) . . . '..^1(^1 — ai ) — ni{ni — i) . . . '2.Tn2(jî — a^) = ...:= o.

Cette série (22), qui représente ainsi une fonction olotrope en :r = o, admet donc bien quelque rayon de convergence >o. En supposant maintenant que \Jk soit remplacé par

Clk -H ^A-l-l ^ -^

quotient de la division par x^ de l'excès de la somme de la série (22) sur la somme de ses k — i premiers termes, le dernier membre de la relation (Sa) représente évidemment, à cause de celte relation elle-même, le résultat de la substitution de cette série à u dans/^°''^(j?, u).

L'inégalité (i5) appliquée au terme en j;^iujk existant dans le second membre de la relation (i i) donne

et ici à cause de ï^ = f^i

d'où

f;t — ik 1(-+- k{m — i).

D'autre part, \Jk — a^t étant maintenant une série entière sans terme constant, le second facteur de l'expression (82) en est certainement une dont tous les termes effectifs contiennent en fac-