CHAPITRE IV. — PHASES CRITIQUES DES FONCTIONS IMPLICITES

leur «ne puissance de x d'exposant au moins = i, si toutefois i est <; m. Dans celte même hypothèse, k{m — /) est au moins égal à A*, et Texpression dont il s'agit est une série entière en x dont tous les termes sont divisibles par jc^+*+* au moins, dans laquelle, par suite, les coefficients des puissances de x ayant des exposants inférieurs à f + k -\- i s'évanouissent certainement. Tous les coefficients de cette série sont donc nuls, puisque l'entier A* est arbitraire. En d'autres termes, la substitution

annule identiquement /(^, ii) et ses m — i premières dérivées par rapport à u.

Mais si i^nij le second facteur de la môme expression (Sa) devient la série

donl le terme constant ne peut être nul et la substitution dont il s'agit ne peut annuler identiquement /^^•>^^{x^ //). L'équation proposée (i) admet donc bien la racine (22) au degré de multiplicité m.

m. Supposons enfin que les termes de la suite (21) soient égaux à m, seulement à partir de IHa inclusivement, et, de même que pour établir l'inégalité (25), transformons/(x, u) en ik{jCy ith)t par la substitution

composée de (12) et de (26). Le grade de fA(a:, wa) étant précisément Wa comme nous l'avons constaté à celle occasion, le polynôme Pftii^k) se réduit à quelque monôme efTectif tel que phu"ki parce que son degré efTectif ï^ et son grade tlt^ sont tous deux supposés = /7î, d'où

En outre, les suites

w* = ^k = Wam-i = ^A+i — . . . = m

jouissent évidemment, par rapport à celte fonction, des mêmes propriétés exactement que celles attribuées ci-dessus (II) aux suites analogues (19), (3i) relativement à/(;r, u). L^équation

admet donc au degré m de multiplicité, la racine olotrope

(33) Uk= «;t^^x-i-aAM-^J^'-^

Mais, en raisonnant comme nous l'avons fait pour obtenir la relation (Sa), on trouvera

f^^J\x^ a^x -¥■ «iJ-^-h. .. =/^^>f\x, ai iT-h. ..-4- aji-x^-h a*x*) = x-^*^'{'^*'^{Xj u/i) = 0, ou ^ o,

selon que i est <i m ou = m, La série (22) est donc bien encore racine multiple de degré m de l'équation proposée ( i), ce qui généralise complètement l'exactitude de la dernière partie de notre énoncé.

137. Ces diverses propositions ramènent évidemment la recherche des racines olotropes distinctes de l'équation (i), la supputation de leurs degrés de multiplicité, au calcul de toutes les suites pouvant jouir des propriétés supposées à la suite (19) dans la dernière partie de l'énoncé du théorème précédent. On procédera comme il suit.