CHAPITRE lY. — PHASES CRITIQUES DES FONCTIONS IMPLICITES
ce même jalon, d'une manière continue et dans le sens rétrograde, jusqu'à sa première position (£)| où, sans avoir été verticale, elle passe par un autre jalon au moins ou bien par plusieurs, le cas échéant (tous d'abscisses inférieures à /'o, d'ordonnées supérieures à 5o). Nous appellerons
la totalité des jalons qui tombent alors stir (D|, écrits dans l'ordre où Ton a To ]> r^ ]> rj > . . . > Ti , et aussi par suite, à cause de la direction de cette droite, ^o <C ^o <^ ^o < • • • < ^« • Nous lui ferons poursuivre ce même mouvement de rotation autour de (ri, ^i) pris ensuite pour pivot, jusqu'à une nouvelle position (O^ où, toujours sans avoir passé par la direction verticale et sans avoir franchi aucun jalon, elle en contiendra deux ou plus que nous écrirons dans un ordre analogue
puis de même en prenant pour pivot (r2, ^2), puis (tj, 5j), et ainsi de suite jusqu'à une dernière position CD/ contenant les jalons
et au delà de laquelle une nouvelle rotation rétrograde autour de (f, g) ne pourrait l'amener à passer par un nouveau jalon sans lui faire atteindre ou franchir la direction verticale.
Les droites (ôj, CÔ2, ...7 ^h contenant respectivement les groupes de jalons
(ro, *o), (^'o»*i)> ('•ï» *î)» •••» ('•11*1),
(r/-i, st-i)y , (f, 0),
et réduites aux segments compris entre leurs jalons extrêmes, forment ainsi une enceinte partielle à l'ensemble de tous les jalons (46), ou graphique de l'équation proposée (i), dont tous les côtés sont obliques à l'axe horizontal des coordonnées, en donnant des valeurs essentiellement positives à la quantité k^ définie par les formules (43).
Mais on ne retiendra comme utiles, c^est-à~dire indiquant des groupes de termes de /{^^ u) qui conduisent à des équations numériques du genre de (44)> que ceux donnant à k^ des valeurs entières. Le côté (£)/ sera utile ou non, selon que la valeur commune des fractions positives
^i- 1 — Si- 1
Si— Si-i
sU
Jl 5l l
sera ou non un nombre entier k^. Dans le premier cas, l'équation numérique correspondante se réduit à
*-+- Ar,„«,, — 0,
après suppression des racines nulles.
Le nombre et les positions des côtés utiles sont entièrement subordonnés aux circonstances numériques de la question. Nous y adjoindrons la droite horizontale (S>o qui allonge l'enceinte en deçà, quand elle laissera l'origine au-dessous d'elle; car alors Sq est >o, a*« est la puissance de u d'exposant maximum qui divise tous les termes effectifs de f{x^ m), et l'équation proposée (i) possède la racine u = o (quelle que soit x)y au degré de multiplicité So marqué précisément par la hauteur de (Do au-dessus de l'axe horizontal.
De nouveaux graphiques construits suivant les mêmes règles pour les séries subséquentes /{x, a;^^J?*«4- Uj^^)^ . . . permettront de prolonger aussi loin que possible, par des termes effectifs, les développements commencés antérieurement, et aussi de découvrir par la survenue de côtés horizontaux utiles, l'existence de racines secondaires identiquement nulles réduisant à des polynômes entiers certaines racines olotropes de l'équation proposée (i).
140. Si la somme des degrés de multiplicité des racines olotropes inégales dont nous venons d^ expliquer le calcul est égale au grade de /{x, w), l'équation (i) n'aplus aucune autre racine {olotrope ou non).
