CHAPITRE IV. — PHASES CRITIQUES DES FONCTIONS IMPLICITES

En représentant par les notations (6), (5) les racines dont il s'agit et leurs degrés de multiplicité, Fégalité supposée

m|-h mi-f-. . .4- m^ = 0

entraîne ^^^Q = o à cause de la relation (9); par suite (130), l'équation

(«')/(ar, a) = o (133)

ne possède aucune racine. On ne peut donc satisfaire à l'équation (i) autrement qu'en annulant identiquement l'un ou l'autre des g premiers facteurs du second membre de l'identité (7), c'està-dire qu'en prenant u égale à l'une ou l'autre des fonctions olotropes (6).

Mais, quand cette somme est inférieure à g, l'équation (i) possède des racines non olotropes (en ^ = o) dont nous allons maintenant nous occuper.

Racines non olotropes.

141. Nous conserverons dans ce paragraphe les notations du précédent dont nous suivrons aussi le numérotage, et nous établirons d'abord ce théorème fondamental :

En appelant t une nouvelle variable indépendante, on peut assigner un entier positif Xi tel, que V équation

de même nature et de même grade fl (> o) que V équation proposée (i), ait des racines, fonctions de f, olotropes et nulles en r = 0, dont la somme des degrés de multiplicité reproduise précisément le nombre J.

I. La multiplication par quelque entier positif /i, de tous les nombres r exposants de x dans/(^, m), change l'équation (i) en une autre de même nature et de même grade, que nous représenterons par

/[/il(^i m)=o,

et elle imprime à tous les jalons du premier graphique (139), des déplacements variés qui sont horizontaux et dirigés de gauche à

148 DEUXIÈME PARTIE. — FONCTIONS D'UNB SEULE VARUBLE.

droite. Mais tous les jalons qui traçaient primitivement Penceinte du graphique la tracent encore après sa déformation; car la multiplication, par une quantité positive quelconque, de tous les éléments d'une même colonne de Tun ou Tautre des déterminants (4^), ne peut ni changer leurs signes, ni les rendre nuls quand ils ne Tétaient pas; d'ailleurs le côté horizontal a simplement glissé sur lui-même.

Comme les nombres s exposants de u ne varient pas, tout côté utile de l'enceinte primitive [dOoCDi .•-(!)/] reste utile après la déformation de celle-ci; car, d'une part, la hauteur de (0o au-dessus de Taxe horizontal reste la même; d'autre part, la multiplication, par n, des numérateurs de fractions telles que (48), les laisse divisibles par leurs dénominateurs. En outre, l'équation numérique correspondante (49) reste la même quel que soit n.

Mais il y a plus : on peut trouver pour n une valeur /i' rendant utile un côté oblique (D, choisi à volonté dans l'enceinte primitive. Car, pour amener tous les numérateurs des fractions (48) à être divisibles par leurs dénominateurs, il faut et il suffît évidemment que le nombre n par lequel on les multiplie tous soit un multiple entier quelconque n' de o-/, dénominateur de la forme

réduite — de ces mêmes fractions. La valeur minimum de n^ est o-/,

c'est-à-dire un entier > i , quand CD/ n'était pas utile, et 1 quand ce côté l'était déjà.

II. En supposant que l'enceinte du graphique de l'équation proposée (i) ait ainsi un côté oblique devenu utile pour l'équation

(51) fln]i^j W)=0,

en appelant aj^^ une racine de l'équation numérique correspondante (49); nous formerons l'équation subséquente en Uj^^

( 52 ) fin] (^, ak^ a?*» -4- MA-, ) = o,

et si l'enceinte du graphique de celle-ci offre encore quelque côté oblique, on trouvera de même qu'un nouveau multiplicateur convenable n"(> i) des exposants de x change cette équation en une autre