CHAPITRE rV. — PHASES CRITIQUES DES FONCTIONS IMPLICITES

ayant un graphique dont Tenceinte contient au moins un côté oblique utile. En d^autres termes, on pourra pousser jusqu'au second terme effectif inclusivement le développement d'une racine olotrope hypothétique de l'équation

Si, dans l'enceinte de son graphique, l'équation (52) avait un côté horizontal utile, elle admettrait la racine olotrope 1/^^ = 0 (identiquement); par suite, V équation (5i) aurait la racine olotrope entière u=^ ai^^a^*^ à un degré de multiplicité évidemment égal à celui de ai^^ considérée comme racine de V équation numérique dont la résolution a fourni ce coefficient (136, I, in fine),

III. Le même raisonnement recommencé indéfiniment pour les équations subséquentes en e/^t,, u^^^ • . . conduit à cette conclusion évidente : on peut assigner une suite de multiplicateurs entiers

tels que pour un des % rubans choisi à volonté dans la liasse définie au n° 137, III, toute coupure puisse être évitée, ou tout au moins que la première à opérer soit repoussée aussi loin quon voudra, par le changement de l'équation proposée en

Le premier cas se présente quand il survient un graphique dont l'enceinte contient un côté horizontal utile auquel on s'arrête \ la suite (53) est alors limitée, et le ruban considéré donne pour l'équation (54) une racine olotrope se réduisant à un polynôme entier.

On se trouve dans le second, quand les graphiques successifs à construire contiennent tous dans leur enceinte des côtés obliques que l'on choisit pour prolonger le développement commencé ; la suite (53) est alors illimitée.

IV. Quand l'emploi d'un nouveau multiplicateur n^J^ de valeur minimum > i est nécessaire au calcul d'un nouveau

terme effectif a/fX^'^ Véquation numérique dont dépend a/,, offre au moins deux racines inégales»

Pour que celte nécessité sUmpose dans le calcul de a^^, il faut que Ton ait choisi, pour opérer, quelque côté oblique (D| de l'enceinte [(DotOi ...CD/], donnant lieu à l'inégalité <ri>-i. Comme tous les dénominateurs des fractions (4^) sont divisibles par o-/, on a notamment, en appelant ^/, . . ., 9/.|9 ç'i^^ certains quotients entiers,

ce qui permet d'écrire l'équation (49)

Tous les coefficients étant 7^0, les racines le sont toutes aussi; en appelant donc a^^ l'une quelconque d'entre elles et 8 quelque racine ^ i de l'équation binôme 6'^*= i, qui en possède certainement de telles (109), ôût^^ quantité ^ a,,^ est évidemment une autre racine de l'équation ci-dessus. (On pourrait encore considérer que le premier membre de la même équation ne peut se réduire à une puissance d'aucun binôme linéaire en Uj^^, parce que les exposants de cette inconnue dans les termes effectifs n'appartiennent pas à une progression arithmétique de raison = i.)

Le même raisonnement s'applique au calcul de a^^^ . . . , car nous avons constaté implicitement dans l'alinéa II, que la poursuite du développement ne comporte jamais que la simple répétition, sur d'autres données, des opérations expliquées pour le calcul de son premier terme effectif.

V. Quand la suite (53) est illimitée et qu^on en réduit tous les termes à leurs valeurs minimums, le nombre de ceux qui sont y>i ne peut surpasser fl — i .

1° Si Q = i, le calcul de ai^^ rC exige V intervention d^ aucun multiplicateur de valeur minimum >\^ et Véquation numérique dont ce coefficient dépend est unique et linéaire.