CHAPITRE I. — FONCTIONS 0L0TR0PE

III. Considérons maintenant Téquation différentielle immédiate

du ^. . i

^ dx ^ ' f{u)

dont toutes les intégrales, évidemment ordinaires, comprennent en particulier les diverses fonctions implicites fournies par la résolution de l'équation finie (7) (307*) (309*).

Comme son second membre est d'une part indépendant de x^ d'autre part fonction olotrope de u dans l'aire S„ parce que/'(«) l'est elle-même sans jamais s'y évanouir (250*, II), on peut, en vertu de la théorie générale des équations différentielles totales (301*), et cela quelle que soit Xy assigner une quantité positive A, telle que toute intégrale de cette équation ait un olomètre au moins égal à A tant que sa valeur tombe à l'intérieur de l'aire Sa.

En vertu de la même théorie (301*, III) et pour la première des raisons invoquées ci-dessus, le module du coefficient de [x — j:^®^]'^, dans le développement de l'intégrale ({/^^^(x) se réduisant à u^^^ pour x = x^^\ est inférieur à une quantité positive de la forme

où ®, 0 sont deux constantes dépendant seulement de la configuration de Taire S„ et de la nature de la fonction F(w); on peut donc, pour toute valeur de w^®^ tombant dans l'aire S^^ et quelle que soit x^®\ assigner une quantité positive C < A telle que pour tout module de x — x^^'^SC le module de if^^^[x) — u^^^

soit <- (II).

IV. Comme enfin on peut écrire /(a -}- k) — /(u)= ky{u^ A:), où, pour toute valeur de u tombant dans S^ et pour tout module de k inférieur à une certaine quantité positive, on peut assigner quelque limite supérieure àmody(M, /r)(200*), il est possible de tracer de Uq à U, dans l'aire S„, une ligne brisée

[UoUiUi . . . Ui . . . U],

dont les côtés soient tous < - en donnant quel que soit i

(9) mod [/(«/+,) — /(a/)] < 6.

V. Tout cela posé, coostruisons dans le plan servant à la notation graphique de x la ligne brisée

[XqjPiXi ... X/ ... X]

ayant pour sommets les points

a?0=/(Wo)i iPl=/(Wl), •• » 3!'i=f{Ui) X=/(U).

La quantité i/q tombant dans Taire S^ et Finégalité (9) donnant

mod(ari — a7o)< <î^ < A,

on peut faire x = Xi dans le développement en série entière par rapport à x — Xq de la fonction implicite u = '^(x) définie dans notre énoncé, puisqu'elle n'est autre chose que l'intégrale de l'équation différentielle (8) complétée par la condition initiale u = Wo pour x = Xq; et en appelant u\ la valeur correspondante ^{Xi) de cette fonction, l'inégalité précédente entraînera

encore

mod(w', — Mo)<- (ni),

Mais on a par hypothèse

mod(wi — WoX -; on a donc aussi

moâ{u\— Ui)= mod[(wi — Wo)--(mi — Mo)]< ^% d'où

u\ = ui (II),

parce que W|, u\ sont deux racines de l'équation numérique

/(u) = Xiy

dont la première tombe dans Su et dont la différence a un module < r.

Partant de là, on démontrera successivement de la même manière que les quantités