CHAPITRE rV. — PHASES CRITIQUES DES FONCTIONS IMPLICITES

renceinte du premier graphique, on a Tëgalité générale évidente

Si donc J = i, / ternies du premier membre se réduisent à o et l'autre à i. Mais ^o ^^ P^ut être celui-ci parce qu'alors tous les autres seraient nuls ; le tableau (47) ne contiendrait aucun groupe, et Téquation (5i) ne conduirait pas, comme nous le supposons implicitement, à quelquedéveloppementcommençant par le terme effectif ajt^x*'.

Donc 5o = o; ce tableau contient un groupe unique, composé seulement de deux paires d'exposants dans lesquelles la différence des valeurs de s se réduit à i ^ la suite de fractions égales (48) n'en contient donc qu'une dont le dénominateur est i, valeur minimum du multiplicateur n' (I).

2° Même chose a lieu pour le calcul de cii^.^^^ quand ai^. est racine simple de Inéquation numérique qui en détermine la valeur, en particulier quand cette équation est linéaire.

Car le grade par rapport à e/^. de Téquation

toujours égal au degré de multiplicité de af^. (136, I, in fine) ^ se réduit à I, et a^j..^^ s'obtient en traitant celte équation par rapport à Ui^. comme l'équation proposée (1) l'a été par rapport à w, pour obtenir la valeur de a^^. On peut alors recommencer le raisonnement ci-dessus (1").

3** Quand la valeur minima du multiplicateur /î^^'^ est > i , l'équation qui fournit aj^. a des racines non toutes égales (IV), par suite de degrés de multiplicité tous inférieurs à son degré.

Le degré de l'équation qui donne a^.^^ est donc inférieur à celui de la précédente, puisqu'il ne peut surpasser le degré de multiplicité de a^. (136, I).

Si donc l'emploi d'un pareil multiplicateur s'impose g — i fois, il faut que la première valeur i^.^ de ce degré qui ne peut surpasser g (136, I) soit égale à J, et que sa valeur pour l'équation numérique venant immédiatement après celle que le (g — lyème multiplicateur a permis de former, soit égale à (j — (jj — i) = i. A partir de ce moment, aucun multiplicateur de cette espèce ne devient plus nécessaire (a*^).

152 DBUXISMB PARTIR. — FONCTIONS D'DNE SEULE VARIABLE.

VI. En supposant les multiplicateurs (53) réduits à leurs valeurs minimums, puis en appelant /i| leur produit quand leur suite est limitée, ou le produit de ceux > i quand elle ne l'est pas (V), le produit n'nJ'n"' . . . finit, dans le second cas, par conserver la valeur constante n^.

Il est donc certain (III) que le changement de Péquation (t) en

supprime toute coupure dans le ruban choisi, en même temps, par suite, dans tous ceux de la liasse, sur lesquels la multiplicité des racines des équations numériques a pu faire inscrire les mêmes coefficients.

En appelant n^ un second multiplicateur que Ton trouvera par des calculs semblables, le changement de l'équation (i) en

laissera intacte quelque liasse partielle d'autres rubans ; et de même avec d'autres multiplicateurs 713, . . ., n/,, jusqu'à l'épuisement de tous les rubans.

Comme les multiplicateurs n<, /i^, . . ., n/t conservent évidemment toutes leurs propriétés quand on les multiplie par des entiers quelconques, les 0 rubans de la liasse resteront tous intacts par le changement de l'équation (i) en

(54 àis) /imC^S m) = o,

U désignant un quelconque de leurs multiples communs. Cette dernière, en d'autres termes, possède des racines olotropes dont les degrés de multiplicité ont une somme égale à fl, ce qui achève la démonstration de notre théorème, à cause de l'identité évidente/j„j(r, w)=/(r", u).

Si les nombres ai^, n^, . . . ^ rih sont les plus petits de ceux qui jouissent des mêmes propriétés, leur plus petit commun multiple sera évidemment la valeur minimum de H.

VII. On arrive à la même conclusion par un autre raisonnement qu'il n'est pas sans intérêt d'indiquer sommairement.