CHAPITRE IV. — PHA8BS CRITIQUES DES FONCTIONS IMPLICITES

sHls sonl Utiles, correspondent des équations numériques (49) dont la somme des degrés efiectifs, égale à

d'après le tableau (47)9 reproduit le grade j de l'équation (1), la somme totale des degrés de multiplicité des racines de ces / + 1 équations est précisément égale à ce même nombre Q (13).

D'autre part, on constatera facilement que, dans le passage d'un côté utile de cette première enceinte à l'équation subséquente (45 6/5), le grade de celle-ci (par rapport à Ui^^) est précisément égal au degré de multiplicité auquel Uf,^ avait appartenu, comme racine, à l'équation numérique dont la résolution a fourni ce coefficient; et de même, dans le passage d'un côté utile d'une enceinte ultérieure quelconque, à l'équation transformée subséquente.

Par conséquent, si les enceintes des graphiques successifs ne contiennent jamais que des côtés utiles, il est certain que dans le prolongement opéré simultanément et parallèlement, des développements de toutes les racines de l'équation (i), les coefficients de ces divers développements seront, relativement aux équations numériques qui les fournissent, des racines dont la somme des degi^és de multiplicité conserve indéfiniment la valeur g.

L'utilité de tous les côtés de toutes les enceintes à construire successivement pour l'équation précédente (54 bis) ayant été assurée par l'emploi du multiplicateur n, il est donc certain aussi que cette équation elle-même, l'équation (5o) par suite, possèdent des racines olotropes dont la somme des degrés de multiplicité est précisément J.

142. La proposition précédente doit être complétée par des observations essentielles.

L Soient

(55) bitP^^blXP^-\-,,.

le développement {réduit à ses termes effectifs) de quelquune des racines de V équation (5o), m son degré de multiplicité, et ts le plus grand entier qui divise à la fois n, /?«,/>2) • • • î posons

en outre

HT 73 TiT

et appelons

les V racines de V équation binôme (56) av = i (109).

Deux quelconques des v séries entières

.-^. , 6i(aîr^)«^iH- Aj(aîrCT)''»H-

\ 6i(avr*^)^i-h6j(avr«')«'a-4-. . .,

[^comprenant (55)] ne sont pas identiques, et, comme (55), chacune déciles est une racine multiple de degré m de Inéquation (5o).

Uidenliié de celles de ces séries où figurent a/ et ay (^i^j^ en- Iraînerait efleclivemeot

puisque ces quantités sont deux racines de l'équation binôme (56),

d'où, contrairement àThypothèse, — = i, parce que les entiers v,

Tï5|, nj2, . . . n'ont aucun diviseur commun > i (H6 6w). Le second point est évident parce que la fonction

reste identique à elle-même quand on y substitue a/f à X^.

Le raisonnement pourrait encore se faire d'une manière moins expéditive, mais plus directe, par la simple discussion des équations entières qui nous ont fourni successivement les coefficients 6,,6.>, ... (141, IV).