CHAPITRE lY. — PHASES CRITIQUES DES FONCTIONS IMPLICITES

fonction de t olotrope et nulle ent = o^ et en appelant ^^y(l'", u) une fonction de r, w, olotrope en X = u = o^ de grade nul, et dans tous les termes effectifs du déi^eloppement de laquelle les exposants de ï sont divisibles par Xi ^ on a l^ identité

(58)/(r^l^) = ...{|a-4/(alrc^)]''»[w-l|;(a,rc^)]'«...[w-^.(avr^T)]/«^

où les points remplacent des groupes de facteurs semblables à celui mis en évidence entre des accolades, et où deux quelconques des facteurs linéaires en u placés entre crochets ne peuvent être identiques.

On a de plus pour chaque groupe

(59) J3t = n, et pour leur ensemble

(60) 2[vmJ = fl.

Comme Téquation (5o) ne peut avoir la racine à{i^) sans avoir aussi, au même degré de multiplicité, toutes les autres du groupe (57) (I), la relation (7) appliquée à/(r", w), en faisant intervenir la totalité des racines de cette même équation, donne une identité de la forme

/(r", lO = . . . I [" - ^(otirCT)]/'! ... [a -^(oLyf^)yn j . . . (A)F(r, u),

où tous les facteurs entre crochets sont différents, pour laquelle les égalités (9), (55 bis) ont lieu, et où f^^F(r, u) est forcément de grade o.

Maintenant, le développement de l'expression

en série entière par rapport à f, se décompose évidemment en termes de la forme

B ( Sa*» a*» . . . ajv ) r(Ai4.A-,-»-. . .-^-K^rs^

OÙ le coefficient B est indépendant de C, et où le second facteur est une fonction symétrique des racines de l'équation binôme ( 56), de la nature de celles faisant l'objet du théorème du n° H4.

Comme cette fonction symétrique se réduit à o, quand la somme

k\ -+- AJ H- , . • -f-ATy

n'est pas divisible par v, les exposants de r dans tous les termes effectifs du développement de (6i) sont divisibles par VTzr = tt, et la relation est nécessairement de la forme

où les composantes . . . , T, ... sont olotropes en o, o.

Dans les termes effectifs du dernier facteur f^'F(r, z/), il faul donc aussi que les exposants de f soient tous divisibles par n, sans

quoi ils ne pourraient l'êlre dans ceux de/(r", a), produit de tous ces facteurs. On a donc

ce qu'il restait à constater.

143. Ce même théorème conduit immédiatement au suivant. Toute racine de V équation proposée (i) est de la forme

biX

fonction composée de quelque fonction radicale simple de la

Jormex" (1 M) et de quelque composante de la nature de (67 bis)^ dans laquelle les exposants nji, t«I2î • • • des termes effectifs et l'indice v n^ admettent aucun diviseur commun.

Les racines pour lesquelles v = i sont olotropes en x = o {on retombe ainsi sur celles dont nous nous sommes occupé dans le paragraphe précédent); les autres ne le sont pas, mais chacune d'elles est accompagnée, au même degré de multiplia

cité, par toutes celles qui correspondent aux y — i autres déter-

minations du radical x^,

La somme des degrés de multiplicité de toutes les racines inégales est égale au grade g du premier membre f{x^ «).