CHAPITRE IV. — PHASES CRITIQUES DES FONCTIONS IMPLICITES

La substitution r = j?" transforme effectivement Tidentilé (58) en

pour laquelle l'égalité (60) subsiste, et le dernier facteur étant de grade o ne peut s'évanouir par la substitution à u d'aucune fonction de X tendant vers o avec cette variable (130); les seules racines de l'équation (i) sont donc les fonctions tj; figurant entre les crochets, dont la nature a été spécifiée conformément à notre énoncé dans le numéro précédent.

Comme v est positif, x* et, par suite, toutes ces racines tendent vers o avec x (103).

A cause de l'égalité (^y), \x^) est l'une des déterminations du

radical x^y dont l'ensemble est

OL^X^, ŒjT^, ..., «v^^ (109, IV).

Pour une valeur de v = i, cet ensemble se réduit à x, et l'on a une racine (simple ou multiple) de la forme

partant olotrope.

Pour une valeur de v>»i, cet ensemble contient plusieurs termes et donne v racines non olotropes en x=^o. Car, si l'on avait, par exemple,

il viendrait aussi en changeant x en x'^

identité impossible puisque les exposants sont divisibles par v dans le second membre, alors qu'ils ne le sont pas dans tous les termes effectifs du premier.

A ces V racines correspondent, dans la relation (62), v binômes élevés à des puissances d'un même exposant m auquel nous conservons le nom de degré de multiplicité des racines dont il s'agit,

comme si elles étaient olotropes. Il est évident, en effet, que la

substitution u = ^\J?7 annule identiquement /(x, //) et ses m — i premières dérivées par rapport à w, mais non la m**"* parce que toutes les racines considérées sont inégales (142, II).

La fin de l'énoncé est Tégalité (60) formulée en langage ordinaire.

1 4i. Pour étendre tout ce qui précède au cas de valeurs initiales quelconques x^^ Wo rendant /(.r, u) nulle, mais toujours olotrope, il suffit d'y remplacer jt, u par les difl'érences x — Xq^ u — u^. Car la double substitution x — 0:0 = x\ u — f/o == w' ramène l'équation proposée (i) à celte autre

à résoudre à partir de ^'= w'= o valeurs pour lesquelles son premier membre est aussi olotrope et nul.

Si, comme il importe de le faire toujours, on a divisé /(jr, u) par(^ — "^o)S plus haute puissance de a; — Xq figurant comme facteur dans tous les termes effectifs de son développement par la formule de Taylor, le grade de ^f{x\ u!) est l'ordre % de la première des fonctions

il, ^ du du^

que l'hypothèse numérique a: = ^oj u^= Uq n'annule pas, c'està-dire le degré de multiplicité (3) de u^ considérée comme racine de l'équation numérique

En désignant encore par ^(^) la composante définie ci-dessus (143), mais augmentée de la constante Woj le théorème précédent se change en celui-ci :

Chaque racine de V équation proposée (i), tendant vers Uq quand x tend vers Xq^ est de /a forme

r n El Hî

(64) ^'[(ar — a-o)^J = Wo-f-6i(ar — iFo)^4-^>,(a7 — a:o)^4-...,

où le radical {x — ^0)^ est susceptible de ses v déterminations indistinctement.