CHAPITRE IV. — PHASES CRITIQUES DES FONCTIONS IMPLICITES
Toute racine où v = i est olotrope en Xq. Les autres ne le sont pas, et celles qui sont formées avec la même composante i^
et les diverses déterminations d'un même radical (x — x^y ont toutes un même degré de multiplicité.
La somme des degrés de multiplicité de toutes les racines inégales reproduit g, même nombre pour la racine numérique Uq de V équation (63), qui est leur valeur initiale commune.
V identité (62) devient enfin
^^^/{x, u) désignant ici une fonction qui en Xq^ Uq est toujours olotrope, mais ne s'y évanouit plus.
lio. En raisonnant comme au n® IA% II, on voil sans peine que le produit partiel
[a — 4*1*1 (^ — ^0)7] X ... X [tt — ^'l^ŒvC^ — -a?o)7j
de V facteurs binômes du second membre de Pidentité précédente,
formés avec la même composante ^ et les v déterminations d'un
même radical (x — ^oT^ se réduit à une fonction V(a:, u) entière
et de degré v par rapport à w, olotrope en Xq par rapport à x.
Aucun autre groupement de ces facteurs ne pourrait donner des
produits partiels de cette nature.
La formule
décompose donc f{x^ u) en un produit de puissances de facteurs non identiques, tous olotropes en x = Xoy entiers et de degrés minima par rapport à u, accompagnés d'un facteur complémentaire ^^^f{x^ u) olotrope mais non nul en a; = ^r©, u = u^.
Si, contrairement à ce que nous supposons maintenant, f{x^ u) s'évanouissait quelle que soit u pour ^ = Xq^ le produit comprendrait en outre un facteur de la forme (.r — ^o/«
160 DEUXIÈME PARTIE. — FONCTIONS D*aXK SEULE VARIABLE.
Cette formule est applicable à toute fonction olotrope de deux variables, mais seulement pour les valeurs de x, u suffisamment voisines de Xo, //o-
146. La présence de racines multiples complique évidemment beaucoup leur séparation et leur développement, ainsi que tous les calculs où Péquation (i) est intéressée. Comme en Algèbre, on évite ces difficultés en déduisant de f{x, w), par des différentiations relatives au et des divisions successives convenables, les premiers membres d* équations semblables à la proposée^ mais n^ ayant plus que des racines simples égales aux racines simples, doubles, triples, etc. de celle-ci.
Il faut toujours commencer par cette simplification quand elle est praticable, et raisonner en la supposant efTecluée. Ici les opérations portent sur des séries et non plus sur de simples polynômes entiers ; mais, à cela près, leur mécanisme déduit de la relation (65) ou (65 bis) est analogue à celui de la méthode dite des racines égales, ce qui nous dispense d'y revenir.
147. En vertu de la relation (65) aucune racine de Inéquation (i) ne peut annuler f^^^^^ {x , u) identiquement aussi, sans être multiple. On peut toujours alors, comme nous venons de le voir, ramener cette équation à d'autres n'ayant plus que des racines simples et dont les premiers membres, encore olotropes, ne peuvent jamais par suite s* évanouir identiquement à la fois y eux et leurs dérivées premières par rapport à u.
Cette décomposition du premier membre /{x^ u) s'étend évidemment, par voie de cheminement, à toutes les valeurs des variables pour lesquelles il reste olotrope. C'est à elle que nous faisions allusion dans le n^ 322 de notre première Partie.
Autres phases singulières des racines de la môme équation.
148. Nous passons à l'examen d'autres cas, très intéressants aussi, qui échappent à la théorie générale des fonctions implicites et qui se ramènent immédiatement à celui que nous venons de traiter si longuement.
