CHAPITRE IV. — PHASES CRITIQUES DES FONCTIONS IMPLICITES

On dit que réquation

résolue par rapport à u^ a une racine infinie en ;r = x^j quand une de ses racines, calculée (par cheminement) pour quelque valeur de x infiniment voisine de x^j est infinie. L'équation

est alors satisfaite pour a: = a:©, w'=o, et s'il arrive, chose très fréquente, qiCelle y ait un premier membre olotrope ou bien seulement qu'elle soit équivalente à quelque autre

Jouissant de cette propriété, les notions précédemment acquises rendent très facile l'étude de ce qui se passe.

L'équation (2) possède alors (141) une ou plusieurs racines infiniment petites, simples ou multiples, dont chacune est de la forme

u' = b'^{x — XqY* -^ b\(x — Xq) ^' -4-...

où b'^ n'est pas nul et où, dans les termes effectifs, les numérateurs des exposants et leur dénominateur commun v n'ont aucun diviseur commun >■ 1 . Il en résulte

ce qui donne

a=^=(x — xo) ^^4-...,

— TT — BT4-1

(3) tt = 6o(a? — Xo) ^ -+-6,(ar — a?o) ^ -f-...,

série procédant suivant les puissances de {x — ^0)^ à exposants entiers et croissants, les premiers négatifs, où, comme tout à r heure, 60 n'est pas nul, dans laquelle aucun entier >> i ne peut diviser à la fois les numérateurs et le dénominateur commune des exposants des termes effectifs,

C'est une fonction composée du radical {x — x^ et de la compo-

M. — II. iz

sanle bo t~^ -\-b^t "*'+* -H . . . , infinie mais méromorphe en / = o (40). Si Tony réduisait ào les coefficients des termes à exposants négatifs, on retomberait sur la forme (64) du n"* 144, que Ton peut ainsi considérer comme contenue dans ce développement.

149. On dit encore que pour x infinie l'équation (i) a une racine finie Uq^ ou infinie, quand une de ses racines, calculée (par cheminement) pour quelque valeur infinie de Xy tend vers Uq dans le premier cas, est infinie dans le second. L'équation

possède alors une racine finie ou infinie en x' =: x'^, et Ton est ramené aux deux cas précédemment étudiés, quand cette équation, ou sa transformée en u', est équivalente à une autre dont le premier membre est olotrope en x' = x'q^ u=^u^yOy\ en x' =zx'^j w/ = o. Pour des valeurs de x' suffisamment voisines de x'^ , chacune des racines considérées de Féqualion auxiliaire (4) est de la forme

CT rT-»-l

dans le premier cas (144), de la forme

rr — CT-»-i

dans le second (148). En remplaçant donc x' — x'^ par-> et en supposant mod:r suffisamment grand, il vient pour le premier cas

rr CT-+-1

(5) M = Wo + ^0^ ^ -»- ^1^ '^ -+-

et pour le second

tj ri— 1

(6) u = bax"* -^b^x ^ -+-....

Dans l'expression (5), les numérateurs et le dénominateur commun des exposants des termes eflectifs n'ont aucun diviseur commun >• I. C'est une fonction composée de la composante

Uq -+- ^0 1~^ -H bi f-to+i) -t- . . . ,

olotrope à V infini (51) et du radical x^\