CHAPITRE IV. — PHASES CRITIQUES DES FONCTIONS IMPLICITES

Dans l'expression (6), il faut supposer Ùq non = o et même propriété arithmétique aux exposants. C'est une fonction composée du même radical et de la composante

méromorphe à V infini (51).

150. Toutes les considérations développées dans ce Chapitre sont applicables aux équations entières; car si f{x, u) est un polynôme entier en x^ «, l'équation (i) a son premier membre

indéfiniment olotrope, et ses transformées en w'= - > x'=i x'-\ —

équivalent évidemment à des équations entières en x^ u'^ ou a:', w, ou x\ ?/'.

151. On rencontre assez souvent les séries procédant suivant Jes puissances du même argument [x — Xq)^^ exposants fractionnaires, positifs ou négatifs, croissants ou décroissants, auxquelles nous a conduits la résolution de l'équation (i) dans les principaux cas échappant à la théorie générale. En représentant par

( 7 ) Ao t-^ -t- A, <-cT »-i -+-...-+- Act -I- Acj+i t -+-

le développement d'une composante méromorphe en ^ = o (olotrope quand Aq = . . . = Au-i = o)j par v un entier n'ayant aucun facteur qui divise tous les exposants de t dans les termes effectifs, leur type général s'obtient évidemment en remplaçant t

par {x — Xq)-\

En appelant R un rayon de convergence du développement (-j), puis 8 une quantité positive inférieure à R^ ou supérieure à R~^ selon que le signe à placer devant v est + ou — , une série de cette espèce

— CJ — CT+l

(8) Ao(a:— :ro)^''H-Ai(ar — a:o) =^'' ^-...,

convergera pour toute valeur de x donnant mod(x — ^o)<I 2 dans le premier cas {saufx = x^ quand les coefficients des termes CL exposants négatifs ne sont pas tous nuls) ou mod(a: — x^) > S dans le second.

152. Pour toute valeur de x tombant dans ses limites de convergence (sauf Xq quand il s^agit du signe H-), la somme de la série (8) est olotrope.

Car alors la difTérence x — Xq n*est pas nulle, et {x — Xo)"^^ est olotrope (125), de plus non nulle (71, VIII). La somme de la série (8) est donc olotrope aussi, en vertu de la théorie des fonctions composées (248*), comme formée avec la fonction

simple, / = (j; — ^o)"*^ et la composante (7), toutes deux olotropes pour les valeurs considérées de x et t.

153. En a: = Xq^ et quand il s'agit du signe +, il y a plusieurs cas à distinguer.

I. Pour V =: I , la série (8) est méromorphe, avec Xq pour infini de degré «de multiplicité xs (quand Ao non = o), olotrope quand

II. Pour v> I, la série n'est ni olotrope ni méromorphe, ce dont on s'assure immédiatement en raisonnant comme au n^ 143. Elle entre dans une phase singulière d'une nature spéciale, qui est nouvelle pour nous, et qui nous autoriserait à proposer pour cette fonction la qualification de rhizomorphe.

Quand x tend vers Xq^ avec Ao non = o, elle est infinie, d'ordre

(fractionnaire) — par rapport à (x — ^o)~S comme on le dit

quelquefois (103).

Si Ao = Aï = . . . = AcT 4 = o, elle tend vers Acy ; si en outre les coefficients des premiers termes à exposants positifs s'évanouissent

jusqu'à celui de{x — 0:0) "exclusivement, elle est infiniment petite d'ordre - par rapport à (x — ^0 )•

154. Quand il s'agit du signe — , il n'y a lieu de se poser de pareilles questions que pour des valeurs infinies de x.

I. Pour V = I , la série (8) est visiblement méromorphe ou olotrope à l'injini (51), selon que l'exposant de son premier terme effectif est positif ou non.