CHAPITRE IV. — PHASBS CRITIQUES DES FONCTIONS IMPLICITES

II. Pour V > I, elle ne l'esl pas, et on peut encore la dire rhi~ zomorphe à TinGni.

Elle est alors infinie, finie ou infiniment petite, de tel ou tel ordre fractionnaire, selon que dans son premier terme efiectif Texposant est positif, nul ou négatif (105).

Il est bon d'observer en passant, que la fonction radicale simples; constitue le cas particulier le plus simple de la série (8), celui où elle contient un seul terme effectif en {x — o).

155. Pour les valeurs de x ci-dessus définies (152), la série (8) est de celles dont on peut exécuter la différentiation ou l'intégration en opérant séparément sur chacun de ses termes.

En supposant d'abord qu'il s'agit du signe +, nous décomposerons la série en la somme de l'expression

contenant tous ses termes à exposants négatifs, et de la série

(10) Acj H- Acy^-l {X — Xoy-+- AcT-Hl (x — 370 )^ -h . . .

formée par ses termes à exposants nul et positifs.

Sauf en Xo, tous les termes de cette dernière sont olotropes; en outre pour toutes les valeurs de x rendant mod(x — ^o)<! 8' (8'<[ 3), leurs modules demeurent inférieurs à ceux positifs de la série

mod Agy -+- mod Anj+i R' -¥■ mod Aty+j R'' -4- . . . ,

qui est convergente parce que R'=(3')^ est inférieur à R(>- 8^), rajon de convergence de la série (7).

Les théorèmes des n^' 274^, 275* sont donc applicables à la série (10) et, par suite évidemment, à la proposée (8), parce que les termes de l'expression (9) sont en nombre essentiellement limité.

Le cas où il s'agit du signe — à prendre devant v se traite exactement de la même manière.