Une différentiatîon de cette série donne ainsi (H

r — CT — CT-H "1

^- — --r^ x\.o{a: — xo)^"* -\ ~ — - A,(a? — aro) =^ -+-... ,

X — 0^0 L ± V ^ zh V J

expression qu'en se prémunissant contre J'ambiguïté, on peut écrire aussi

Ao(a7 — iTo)-^ H it: Ai(^ — iCo) '^''' -4-...,

série de même nature que la proposée.

Des différentiations répétées conduisent à des résultais analogues.

Quand l'exposant du premier terme effectif de la série (8) est positif, sa somme est infiniment petite avec {x — Xq) si les exposants vont en croissant, infinie avec x s41s vont en décroissant. Mais comme chaque différentiation diminue tous les exposants de I, on peut arriver à des dérivées qui sont infinies dans le premier cas, infiniment petites dans le second.

157. Quand la même série ne contient point de terme effectif en (x — ^o)~S son intégration donne (H8)

— CT à — CT-Hl

(J7 — j?o)| "-'■ (a? — a7o)-^^H ^ (:r — To) =^'' -f-...

TïT -T- I

''" (^x„)*>+ ^J (x-Xo)"^"V...,

m — Tn -h I

c'est-à-dire encore une série de même nature que la proposée ; l'augmentation subie par les exposants donne lieu à des observations inverses de celles qui terminent le numéro précédent.

Quand elle contient un pareil terme, l'intégrale est compliquée, comme pour les fonctions méromorphes, d'un terme logarithmique que nous discuterons bientôt (170 et suiv,, i^f')'

158. Parfois on a à discuter une expression rationnelle par rapport à des /onctions rhizomorphes d'une variable x infiniment voisine d'une valeur critique commune ci, c'est-à-dire de