CHAPITRE IV. — PHASES CRITIQUES DES FONCTIONS IMPLICITES

la forme

où F est une composante rationnelle, où ^4, J'a? • • • sont des fonctions méromorphes (ou olotropes) pour la valeur o de leurs variables uniques. Cette discussion se ramène immédiatement à celle des n*** 44 et suiv, par la substitution

en appelant N quelque multiple commun des entiers v,, V2, . . . , le

plus petit par exemple; car alors ^j [(j; — ïï)^*Jî . • • se changent

en <{^| \^^v, . . . fonctions toutes méromorphes en f = 0.

Après simplification et développement de l'expression transformée en une série procédant suivant les puissances de ^ à exposants entiers positifs ou négatifs, la substitution inverse

donne un développement dont l'examen rend visible ce qui se passe en j: = tt.

Tout cela est trop facile pour que nous insistions ; nous ferons seulement remarquer que l'on se trouve ici dans un de ces cas signalés au n^ 46, où la règle de Lhôpital n'est plus applicable. Si, par exemple, on essayait de s'en servir, seulement pour discuter en «r = o l'expression très simple

les différentiations parallèles qu'elle comporte conduiraient dès le premier ordre à des termes toujours infinis.

Observations complémentaires sur le calcul par cheminement des fonctions implicites considérées dans ce Chapitre.

1S9. La théorie générale des fonctions implicites, combinée avec le théorème fondamental du calcul par cheminement des fonctions localement olotropes (307* et suis?,) (173*), exige, pour

que la discussion d'une racine déterminée u de l'équation

soit possible dans une aire limitée donnée S^, que u n'y soit jamais infinie, puis que pour toute valeur de a: y tombant, associée à la valeur correspondante de i/, /(^, u) soit une fonction olotrope de deux variables, puis enfin que pour les mêmes valeurs de Xy u on n^ait jamais

Mais les notions nouvelles que nous venons d^acquérir nous permettent maintenant de nous soustraire à ces diverses restrictions, la seconde naturellement exceptée, moyennant toutefois, relativement à la première, que l'équation

jouisse de la propriété spécifiée au n® 148.

Quand l'équation (i) a été traitée par la méthode esquissée aux n°* 146, 147, ce que nous supposerons désormais, elle forme avec (2) un système d'équations numériques simultanées aux inconnues Xj m, dont les couples de racines ayant leurs premiers éléments

à l'intérieur de l'aire Sj? sont en nombre évidemment limité. Il en est de même (4) pour les racines

(5) ai, aj, ...

de l'équation, à premier membre olotrope,

qu'on obtient en faisant w'=o dans l'équation (3) convenablement transformée.

Rien ne s'oppose d'ailleurs à ce que quelques-unes de ces quantités appartiennent aussi à la suite (4); car quand x tend vers ai, par exemple, il peut fort bien arriver qu'une certaine racine de l'équation (i) soit finie et fasse tendre /^®»*J (a:, u) vers o, en même