CHAPITRE I. — FONCTIONS OLOTROPJBS

existent et sont égales respectivement à Or l'égalité finale

est précisément celle que nous voulions établir.

12. Ce théorème est d'une utilité extrême dans la résolution des équations de la forme (i). // permet effectivement de calculer exactement les racines simples d^une pareille équation, dès que les racines de la première équation dérivée sont connues seulement avec une approximation suffisante. Il peut donc aussi fournir indirectement les racines multiples, puisquelles sont toujours simples pour quelque équation dérivée.

Nous verrons plus tard (163, 160, i/i/.)queles racines multiples peuvent être obtenues par cheminement direct, et qu'on peut même supposer /'(uo) = o.

Résolution théorique des équations entières à une inconnue. 13. Si

/( a) = Ao -4- Al a -h . . . -+- Am w**

est un polynôme entier en u de degré effectif M > o, c^està-dire où le coefficient A^ est non = o, l'équation numérique

offre des racines distinctes dont la somme des degrés de multiplicité est précisément égale à M, et elle n'en a point d'autres.

Comme y( 2/) est une fonction indéfiniment olûtrope de u, qui, à cause de M> o, ne dégénère pas en une constante et qui, pour toute valeur infinie de w, devient infinie (150*), partant non infiniment petite, l'équation (i) possède nécessairement quelque racine ai (9). De plus, le degré de multiplicité /w« de cette racine ne peut surpasser M, parce que/^"^(a) = 1.2 ... M. An est une constante supposée non = o.

On a donc identiquement (1)

/(w) = (w — «i)'"«/i(w)> la fonction