Quand la valeur initiale de x choisie pour commencer

le cheminement est une quantité a appartenant à la suite (4), et

que la valeur correspondante b choisie pour u est racine simple

de l'équation numérique

on rentre dans la théorie générale, et nous n'avons rien à ajouter à ce qui a été dit au n^ 307*. Mais quand b est racine multiple, sa connaissance ne suffit plus à l'exécution du cheminement, à cause de l'ambiguïté naissant de l'existence possible de plusieurs racines de l'équation (i) se réduisant toutes à 6 pour x = a. Celles de ces racines qui sont olotropes en ^r = a ne peuvent se distinguer les unes des autres que par les premiers schémas de leur développement (172*), poussés les uns et les autres jusqu'aux points où ils diffèrent par quelque article » Pour préciser celle qu'on entend calculer par cheminement, on indiquera donc son premier schéma choisi naturellement parmi ceux que fournit la méthode expliquée dans les paragraphes précédents.

Mais pour les autres qui sont de la forme ^[(^ — a)^J où V est >• 1, ^indication du schéma [nous voulons dire des coefficients du développement de la composante olotrope ^(t)] ne

suffit plus à lever C ambiguïté , à cause de la multiplicité des

valeurs du radical {x — ay. Il faut alors indiquer, en outre, celle

de ces valeurs qu'on entend substituer dans i({t) pour commencer l'opération. Au fond, les conditions du cheminement sont totalement modifiées par celte intervention d'un élément étranger au schéma, et encore par l'emploi d'un autre développement que celui de Taylor. Cette valeur a de ^ correspond alors à ce qu'on nomme souvent un point de ramification pour les racines u en question.

161. Quand la valeur initiale a de j: fait partie de la suite (5) et que celle de u est infinie, les choses se passent de la même manière, à cela près que les composantes A(f) ne sont que méromorphes en ^ = o, et que leurs schémas contiennent des coefficients de termes à exposants négatifs; on abandonne encore la série de Taylor.

Si l'équation (i) possède ijine seule racine, méromorphe en a: = a,

l'ambiguïté n'existe pas-, pour plusieurs racines de cette espèce

elle se lève par le choix fait entre les schémas réduits à des termes

assez nombreux pour mettre leur non-identité en évidence. Pour

les racines non méromorphes, il fauty ajouter comme ci-dessus Tin-

dication de la valeur à prendre parmi les v distinctes de {x — a)''.

En a on a encore, mais d'une autre manière, un point de ramification.

Quand la valeur initiale de x appartient à la fois aux deux suites (4), (5), les deux ordres de faits qui viennent d'être signalés se présentent simultanément sans modifications réciproques.

162. Une deuxième question à résoudre consiste à assigner le résultat auquel un cheminement déterminé conduit en û, valeur finale de x appartenant à telle ou telle des suites (4), (5), ou bien à toutes deux à la fois.

Soient

(6) b,, l»j, ..., et b^ (au figuré)

les valeurs numériques distinctes, finies et infinie, des racines que l'équation

peut posséder, et ù! une valeur de x choisie sur le chemin considéré, de manière :

1° Que les développements (olotropes, méromorphes ou rhizomorphes) des racines distinctes de l'équation (i) qui tendent vers les quantités (6) quand x tend vers û, soient tous convergents pour X = a', ce qui est réalisable dans les cas courants, en particulier dans celui où ces quantités (6) sont en nombre limité;

2® Que pour ^ =: a' ces développements prennent des valeurs numériques inégales, ce qui est réalisable puisqu'ils diffèrent les