CHAPITRE V

LOGARITHME NÉPÉRIEN ET FONCTION EXPONENTIELLE.

Origine et propriétés fondamentales du logarithme népérien.

169. Au point de vue purement analytique, le seul auquel on puisse se placer quand on tient à concevoir les choses dans un enchaînement clair et naturel, et sauf de bien rares fonctions dont la plupart ne jouent aucun rôle sérieux même dans les spéculations abstraites, toutes les transcendantes peuvent être considérées comme des résultats, prochains ou éloignés, dHntégrations exécutées sur des expressions de nature auparavant connue. Cette conception, qui en fournit la classification la plus nette, place au premier rang celles dépendant d^ équations différentielles exclusivement algébriques par rapport aux variables indépendantes, aux fonctions inconnues et à leurs dérivées.

Les intégrales abéliennes sont les transcendantes les plus remarquables de cette espèce; on a donné ce nom à toute intégrale iudéfînie à une seule variable principale x^ de la forme

(1) f?{x,y)dx,

on y désigne une fonction implicite de x*, racine d'une équation entière donnée

qu'on peut supposer irréductible, c'est-à-dire dont le premier membre est indécomposable en facteurs entiers de degrés moin dres, où F est une composante rationnelle à deux variables, donnée aussi.

170. Quand l'équation caractéristique (2) est du premier degré

184 DKUXIÈME PARTIE. — PONCTIONS D'UNE SEULE VARIABLE.

seulement par rapport à j% cette fonction implicite se réduit à quelque fonction rationnelle de Xy la fonction composée F(j?, ^) également, et l'intégrale (i) à

(3) f^(^)dx,

OÙ F (a:) n'est plus qu'une fraction rationnelle.

La décomposition de F(j:) opérée au n^52 fournit des monômes entiers de la forme

et des fractions simples de la forme

Aux monômes correspondent dans l'intégrale (3) calculée par décomposition (215*, II) les termes similaires

^ a:"»+« (215% IIJ);

aux fractions simples où [f-^i, correspondent encore d'autres semblables

(ar— a)-|A-»-i (loc, citX

— fi-Hi ^ ^ ^ ^

Mais si la décomposition de F{x) a donné des termes eifectifs en

ils introduisent dans l'intégrale (3) une partie linéaire et homogène par rapport à des intégrales indéfinies telles que

dont jusqu'ici la nature propre nous est entièrement inconnue. En posant

l'intégrale (4) est W(x — a), quelle que soit la constante a. C^est donc en définitive à cette dernière Jonction, la plus simple évidemment de toutes les intégrales abéliennes, que se rame-