CHAPITRE V. — LOGARITHME NEPERIEN ET PONCTION EXPONENTIELLE

nent ainsi tous les éléments encore inconnus de V expression (3), intégrale indéfinie d'une différentielle rationnelle quelconque.

Telle est la principale cause de Timportance des diverses questloDS qui se rattachent à l'intégrale (5), dont nous allons maintenant faire une étude minutieuse.

171. Toutes les déterminations de Fintégrale indéfinie (5) ne différant les unes des autres que par des quantités constantes, on peut se borner à considérer une seule d'entre elles; il y a intérêt à choisir celle qui se réduit à o pour x = ij c'est-à-dire la fonction (plus exactement pseudo-fonction) définie par la formule

où l'intégrale doit être prise sur tous les chemins partant de a: = i ^ ou bien, ce qui revient au même, définie par l'équation diflférentielle et la condition initiale

, . du i

(7) dx^x' w=opoura: = i.

On la nomme le logarithme népérien de x^ et on la représente par le signe l{x).

Voici les premières conséquences de cette définition.

I. Le logarithme est localement o loir ope pour toute valeur de X non nulle, mais non olotrope en x=io. Car la fonction

fractionnaire simple -y qui est placée sous le signe d'intégration

dans la formule (6), jouit précisément de ces mêmes propriétés (153*) (208*).

On peut donc développer cette fonction par la formule de Taylor à partir de xi, valeur initiale quelconque de x non == o, et le rayon de convergence maximum de la série est modxi, distance de xi à cette unique valeur singulière o (201*).

II. Comme la difiiérentiation indéfinie de l'équation (7) donne immédiatement

le développement dont il s'agit est

i Xi 1 \ Xi / m \ Xi 1

Nous récrirons quelquefois

(9) a=- w/-+-Xn-+-î-^^V

en posant, pour abréger,

série entière dont le rajon de convergence maximum est i , et dont l'étude directe, faite parla méthode employée au n° 78, III, ramènerait par une autre voie aux conclusions ci-dessus (I) (C/". 80, III).