V. Si les quantités

forment une progression géométrique de raison q, les valeurs correspondantes de l{x)sont les termes d^ une progression arithmétique de raison X(i + y — i).

Car les égalités supposées

^^ — ^<-n donnent

Xj ~ Xj-x Xj^x — Xj

d'où (II)

. . . = Ui — M|i = Uf+i — M/=...= X(n-^ — l)

[en supposant bien entendu mod(^ — i)<C i].

VI. Nous noterons enfin une relation très intéressante entre le logarithme et la fonction ^(tlt, x) des n°' 78 et suiv.

L'expression de la valeur de cette dernière au bout du chemin [xq{=^i)xxX2 . . Xi iXix] est évidemment

On a de plus (85)

Si donc on fait lit =: o dans la formule (12) différentiée une fois par rapport à Ut, et si l'on a égard à la formule (i i) construite pour le même chemin, il vient, toujours au bout du même chemin,

C'est la relation dont il s'agit; elle permettrait de déduire facilement, des propriétés fondamentales de la fonction '{'(îW, :r), celles du logarithme qui précèdent et beaucoup de celles qui vont suivre. Mais la méthode directe est évidemment préférable, bien qu'elle soit un peu plus longue.

172. Si les variables x\ x", . . . , x^^^ cheminent arbitrairement (à partir de x'=^ x"^^, . . = x^s) = i), e/ si

K', K', ..., K'iT)

sont des exposants réels commensurables quelconques, on a toujours identiquement

pourvu, bien entendu, que l'on ait pris i pour valeur initiale commune de tous ceux des monômes x'^\ x"^\ . . . dont les exposants sont fractionnaires (118), et que la valeur du premier membre de cette relation soit calculée conformément aux règles de la théorie des fonctions composées (231*).

Pour établir cette identité dans toute sa généralité, il suffît (252*) d'en vérifier l'exactitude sur les premiers développements des deux membres, c'est-à-dire /?o//r toutes les valeurs de x\ x"^ . . . rendant inférieurs à i les modules des excès sur i, tant de ces

valeurs elles-mêmes que de la quantité x^^'x"^\.. (71, III) (171, I). Or c'est ce qui a lieu :

I. Quand g se réduit à i , car alors les dérivées par rapport à x' des deux membres de la relation (i3), savoir

se réduisent respectivement à

rL^ = ^ (118), (171);

de plus ces deux membres s'annulent simultanément pour x'= i;

II. Quand g a une valeur quelconque, si on suppose l'identité démontrée pour g — i variables, car alors les mêmes déri-