CHAPITRE V. — LOGARITHME NÉPÉRIEN ET PONCTION EXPONENTIELLE

vées prennent encore les valeurs identiquement égales

et, pour j:'= I , Tidentité se réduit à

qui est supposée exacte ;

III. Quand g a une valeur quelconque, et maintenant sans condition, carnotre identité, ayant été établie pouru ne variable (I) est vraie pour deux, puis pour trois, et ainsi de suite (II).

173. Comme la distribution des valeurs ordinaires et singulières de x^ observée pour la fonction ^(llt, x) (80, III), se reproduit identiquement pour celle que nous étudions en ce moment, les mêmes particularités se représenteront aussi dans le calcul de cette dernière par cheminement, excepté, bien entendu, celles tenant à la nature propre du développement élémentaire (8) qui est ici entièrement différente. Par exemple, les mêmes tracés de chemins sont permis ou non, et tout chemin conduisant Ae x^klL équivaut, pour le calcul de la valeur finale de u en X, au chemin simple [j:o^(|)X] du n** 87, compliqué par quelque parcours de l^anneau [O^] ceignant l'origine Ox-

La comparaison des valeurs finales de u = l{x) au bout des divers chemins qui mènent de J^o à X conduit à ce théorème :

En appelant U celle qui correspond au chemin simple, et U^*^ celle résultant de l'insertion entre ses deux tronçons [xo^(<)] [j7(i;X], de Vanneau \0x\ parcouru kfois dans le sens direct (89), on a

(i4) Uf^'^= U-4-/:nT,

OÙ xs est une constante spéciale dont la valeur est indépendante de la forme de Vanneau.

I. Conservant les notations du n^ 88, nous appellerons 1/(4, la valeur acquise par l{x) en jî^ij, extrémité du premier tronçon du

190 DKUXliME PARTIE. — FONCTIONS D'UNK SEULE VARIABLE.

chemin simple, puis

les sommets du chemin constitué par Tanneau, écrits dans l'ordre où on les rencontre en y faisant une révolution directe, et

"(i)j "(î}» •••> "{*)» "(il»

les valeurs correspondantes de /(a;).

La formule générale (9) donnera

en posant pour abréger d'où successivement

puis en ajoutant membre à membre

(i5) u\\]= u>i)-hm,

où l'on a posé

(16) TB = Tïï(i> -h T!T(i) -h . . .-+- W^f).

De la formule (i5) on passe immédiatement, par le raisonnement employé au numéro cité, à

puis à la relation générale (i4)*

II. Avec deux anneaux directs quelconques '[O^;], "[0«], et deux chemins non séparés par l'origine que nous tracerons de Xq à X, nous formerons, comme au n° 88, IV, deux chemins composés équivalents. On en conclut

OÙ 'ro, "cj représen tent les valeurs de la constante xs qui correspondent à ces deux anneaux, puis