CHAPITRE V. — LOaARITHHS NÉPÉRIBN ET FONCTION EXPONENTIELLE

ce q\ii nous restait à démontrer. [On pourrait dire encore que les valeurs de Tintégrale (5), prises sur chacun des anneaux, sont égales parce que ceux-ci sont tous deux directs et que la fonctien x~^ placée sous le signe / est olotrope dans l'espace qui les sépare (229*, V)].

Nous reviendrons incessamment (180, inf.) sur le calcul de la constante xs.

174. D'après cela, les valeurs finales de l{x) au bout du chemin simple compliqué d^ anneaux directs en nombres

sont respectivement les termes de la progression arithmétique de raison w, indéfinie dans les deux sens

..., U — am, U — Wy U-ho.nT = U, U -t- tu, U -h aw,

175. Nous passons aux résultats essentiels de la discussion numérique du logarithme.

En appelant e une quantité réelle < i en valeur absolue^ et l{x + e^) la valeur que prend le logarithme quandonpasse directement dexàx -j-tXj en partant du premier de ces points avec la valeur l{x), on a

(17) l(x-htx)= l(x)-hh,

oïL h est une quantité réelle =0 en même temps que e. La formule générale (9) donne immédiatement

série dont la somme est nulle si e = o, négative si € <; o, car alors tous ses termes sont négatifs, positive enfin si e >- o. Effectivement et à cause de e <C i > ses termes sont alternativement positifs et négatifs, avec des valeurs absolues qui décroissent sans cesse et indéfiniment (101*).

176. Au point de vue graphique, on en conclut ce qui suit : quand x se meut sur une demi-droite fixe issue de V origine O^,

r.)2 DEUXIÈME PARTIE. — FONCTIONS D*UNE SEULE VARIABLE.

le point II = l{x) se meut dans le plan des axes OuU', Oul^'^ sur une parallèle au premier de ces axes et cela dans sa direction positive ou négative, selon que, dans son mouvement, le point x s^ éloigne ou se rapproche de V origine O^. Effectivement le premier élément seul de l{x) varie, en croissant dans le premier cas, en décroissant dans le second.

Nous verrons tout à l'heure (178, inf,) que m traverse Taxe OuL'' quand x traverse la circonférence de rayon i décrite de l'origine O^ comme centre.

177. Le point Xq-=\ se trouvant sur la partie positive de l'axe des quantités réelles, ainsi que toute valeur positive de x^ on peut atteindre cette dernière par un cheminement exécuté exclusivement sur cette partie, et chaque accroissement attribué kx sera de la forme ci-dessus tx. Gomme on part de :r = ^o = i sivec la valeur initiale réelle /(i)^o, l'application répétée de la formule (i^) montre que la valeur atteinte par l{x) sera toujours réelle; de plus elle est unique, parce que tous les chemins de mêmes extrémités dont les sommets appartiennent à la partie positive de l'axe des quantités réelles s'équivalent évidemment.

Cette valeur réelle de l[x) est^o^ selon que la va leur positive de X à laquelle elle correspond, est^i. Car, en partant de i et marchant sur l'axe O^X', d'abord dans sa direction positive, ensuite dans sa direction négative, l{x) part de o en n'éprouvant jamais que des accroissements qui sont positifs dans le premier cas, négatifs dans le second.

1 78. Quels que soient la valeur de x de module Ç et le chemin suivi pour y arriver, et si Von représente par 'l(x) le premier élément de l(x), on a

valeur réelle atteinte par l(x) partant de /(i) = o quand on chemine de i à ^ sur la partie positive de l'axe des quantités réelles (177).

D^ou en particulier, pour modx := i ,