CHAPITRE V. — LOQARITHHB NÉPÉRIEN ET FONCTION EXPONENTIELLE

Si X désigne la quantité conjuguée à :r, on a sans cesse et par suite (172)

Mais les termes du membre médian sont des quantités conjuguées, parce que Xy x le sont sans cesse, et que les coefficients de la série (lo) sont tous réels. C]ie membre se réduit donc à 2'l{x),

d'où

ce qu'il fallait prouver.

179. Ainsi donc au point de vue graphique, quand le point jr se meut sur une circonférence [Ox, Ç] ayant l'origine Oxfour centre et \ pour rayon, le second élément de l{x) seul varie, et le point u = l{x) se meut ainsi sur quelque parallèle à raxeOuU',

Quand la rotation de x est directe, la translation de u a la direction de la partie positive de Vaxe dont il s'agit, et inversement.

Si le passage de Xi à Xi^\ s'effectue par exemple dans le sens

direct, le second élément du rapport — ^ est nécessairement

positif (98, I), celui àtt = t'+ it"^ '^i^^zJ^ = f^ , également, par suite aussi celui de

Car, tétant infiniment petit, on a )^(i -f- f)-h l{i = t), d'où (172)

= X(i-ht')-\ -, — ( — -, ) -f-...

= >0Y.*[Kt|7)'-Kt^)'-]

expression dont les deux premières parties sont réelles, et dans M. — II. i3

laquelle le coefficient de i finit par conserver le signe -h parce que t^ tend vers o et f aussi en restant positif.

En appelant Vj-, V^ les vitesses simultanées de ces deux points, on a

(i8) Xfi = I.

Si l'on fait tendre Xij^\ vers :r„ la formule (17 bis) donne efFec-

livement

,. mod(M/4.,— Ui) ï

iim j = r-»

mod(j:|>j -- Xi) Ç/

180. V augment w (173) est une quantité imaginaire dont les éléments sont, le premier nul, le second positif ,

Nous calculerons plus commodément la constante rs en donnant à l'anneau la forme déjà utilisée au n^ 100 dans la théorie de la fonction ^{\f-^ ^). H vient ainsi, d'après la formule (16),

(19) uj = 4 [X (l -+- yi - l)-H X (iH- yj - 1) -h. . .-+- X(l -h ya- 0]»

les lettres y 1 , 72, . . . , (/a conservant, bien entendu, le sens qu'elles avaient au numéro cité.

Pour calculer généralement ).(i -{- q — ij, nous observerons que ' cette quantité se confond avec la valeur acquise par l{x) en q^ au bout d'un pas fait directement de a: = i k x = q que nous décomposerons, chose évidemment permise, en deux autres conduisant, le premier de ^ = i à x = q', premier élément de q^ le second de x = q' kx = q'-\- iq" = q.

Le premier de ces deux pas donne en q'

le second donne en q, si l'on représente par x(<^*) '^ pente de q (98, II),